可分离变量的微分方程

第二节可分离变量的微分方程

微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.

内容分布图示

★ 可分离变量微分方程

★ 例1 ★ 例2

★ 例3 ★ 例4 ★ 例5

★ 齐次方程

★ 例6 ★ 例7

★ 例8 ★ 例9 ★ 例10

★ 可化为齐次方程的微分方程

★ 例 11 ★ 例 12 ★ 例 13

★ 例 14

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题8-2 ★ 返回

内容要点：

一、可分离变量的微分方程

设有一阶微分方程

),(y x F dx

dy =, 如果其右端函数能分解成)()(),(x g x f y x F =，即有

)()(y g x f dx

dy =. (2.1) 则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(x g x f 都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.

二、齐次方程：形如

? ??=x y f dx dy (2.8) 的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..

三、可化为齐次方程的方程：对于形如

???? ??++++=222

111c y b x a c y b x a f dx dy 的方程，先求出两条直线

,0111=++c y b x a 0222=++c y b x a

的交点),(00y x ，然后作平移变换

???-=-=00y y Y x x X 即 ?

??+=+=00y Y y x X x 这时，dX

dY dx dy =，于是，原方程就化为齐次方程

,2211???? ??++=Y b X a Y b X a f dX dY

例题选讲：

可分离变量的微分方程

例1（讲义例1）求微分方程xy dx

dy 2=的通解. 例2（讲义例2）求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.

注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中.

例3 已知,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<

例4（讲义例3）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t 的变化规律.

注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.

设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t 的变化规律.

例5（讲义例4）某公司t 年净资产有)(t W (百万元), 并且资产本身以每年5%的速度连续增长, 同时该公司每年要以300百万元的数额连续支付职工工资.

(1) 给出描述净资产)(t W 的微分方程;

(2) 求解方程, 这时假设初始净资产为;0W

(3) 讨论在700,600,5000=W 三种情况下, )(t W 变化特点.

齐次方程

例6（讲义例5）求解微分方程

x y x y dx dy tan +=满足初始条件61π==x y 的特解. 例7 求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx

-=+-

例8（讲义例6）求解微分方程.22dx

dy xy dx dy x y =+ 例9 求下列微分方程的通解: .0)ln (ln =--ydx dy y x x 例10（讲义例7）设商品A 和商品B 的售价分别为,,21P P 已知价格1P 与2P 相关, 且价格1P 相对2P 的弹性为,1

2122112P P P P dP P dP P +-=求1P 与2P 的函数关系式. 可化为齐次方程的方程

例11（讲义例8）求3

1-++-=y x y x dx dy 的通解. 例12（讲义例9）利用变量代换法求方程

2)(y x dx dy +=的通解. 例13 求微分方程)2(tan 2

12y x y +='的通解. 例14 求下列微分方程的通解: .22222

2x x

y x e y y x y x -++=

课堂练习 1.求微分方程0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 的通解.

2.求微分方程

2cos 2cos y x y x dx dy +=-+的通解. 3.方程

[])()()(2022x xy dt t y t t y x =++?是否为齐次方程?

用分离变量法解常微分方程

用分离变量法解常微分方程 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

用分离变量法解常微分方程 . １直接可分离变量的微分方程形如 dx dy = ()x f ()y ? 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（）改写成 ) (y dy ?= ()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到通解：? )(x dy ?=? dx x f )(+c. 其中，c 表示该常数，? )(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程的解. 例1 求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： (2)两边积分： c x dx y dy +-=-? ? 2 2 11 ，得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.

例2 曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率. 解：由题意得 y '- =1法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1 x X y y Y -' - =-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(1 2x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='，分离变量，解得 x +2 其中c 为任意正数，如图1. ２变量可替换的微分方程种可化为变量分离方程的类型: 齐次方程形如 ?? ? ??=x y dx dy ?

3-5 -可分离变量型方程及其解法

2.1 可分离变量型方程的解法 [教学内容] 1. 介绍导数、不定积分公式表及其意义; 2.介绍求导和求不定积分的法则; 3. 引入齐次方程的概念及其求解方法; 4. 介绍其他可分离变量型方程及其解法. [教学重难点] 重点是知道齐次方程如何引入新的因变量化为分离变量型方程，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为可分离变量型方程. [教学方法] 自学1、2；讲授3、4，5课堂练习 [考核目标] 1. 会熟记、记准导数公式和积分公式; 2. 知道求导法则和积分法则，并熟练、正确计算函数的导数和不定积分; 3. 知道齐次方程的形式 )x y f (dx dy =，并会用变换x y u =，将原方程化为变量可分离型方程; 4. 知道探照灯形状设计问题及其求解步骤和方法; 5. 知道如何将函数方程或积分方程求解问题化归为微分方程来求解. 1. 导数公式和积分表的意义小学时大家熟记乘法口诀表，这是小学、中学数学乘、除运算的基础，要不然，买2斤苹果3斤梨子，都不知道该付给商贩多少钱。大学时大家关心的是函数，其中求导和求积分是两个重要的运算，函数的不少性质需要求助于这两种运算的结果，比如单调性、凸凹性、曲线的长度等.（导数表参见《数学分析上》P101基本初等函数的导数公式，积分表参见《数学分析上》P180 列表）练习17. （1）合上书本，写出基本初等函数的导数公式和不定积分公式. （2）双曲正弦2e e sh x x x --=，双曲余弦2 e e ch x x x -+=，(有的教材用sinh x 和 cosh x 表示). 证明：1x sh x ch ch x,(sh x)' sh x,(ch x)'2 2 =-==. 2. 求导法则和积分法则碰到的函数成千上万，不可能记住所有这些函数的导数(积分)公式，但你要会将这些函数的导数（积分）转化为上面基本初等函数的导数（积分）来算，这就要知道求导（积分）法则. 对于一元函数f(x)y =而言，可导性和可微性是等价的， (x)' f dx dy =(x)dx ' f dy =?，导数也称为微商，原因是(x)' f 是y 的微分与x 微分的商. 下面就给出求导、求微分、求积分法则. 设g(x) v f(x), u ==均可导，则 (x)' g (x)' f g(x))'(f(x)+=+, dv du v)d(u +=+；相应（1）???+=+dv du v)d(u ; (x)' g )f(x (x)g(x)' f g(x))'(f(x)+=?, dv u du v v)d(u +=?；于是相应地有（2） ???+=?dv u du v v)d(u ; (x)g' (g(x))' f (g(x)) (f dx d =，g(x) v dv, )v ('f d(f(g(x)))==；于是相应地有

高数可分离变量的微分方程教案

§7. 2 可分离变量的微分方程观察与分析: 1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得 y =x 2+C . 一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=?)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解. 因为y 是未知的, 所以积分? dx xy 22无法进行, 方程两边直接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为 xdx dy y 212 =, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C x y +-=21, 可以验证函数C x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx 形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C , 由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程: 一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 与y 是对称的. 若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x P y x Q dy dx -=.

可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成 g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=?(x )ψ(y )) 的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ?y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ?dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是. (4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ?y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ?10-y dy =10x dx . (6)x y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法: 第一步分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式; 第二步两端积分:??=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y ) G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dx dy 2=的通解. 解此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 xdx dy y 21=, 两边积分得 ??=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2 112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2 x Ce y =. 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律.

可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程观察与分析: 1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得 y =x 2+C . 一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=?)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解. 因为y 是未知的, 所以积分? dx xy 22无法进行, 方程两边直接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为 xdx dy y 212=, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C x y +-=21, 可以验证函数C x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx 形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C , 由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程: 一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 与y 是对称的. 若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有 ),(),(y x P y x Q dy dx -=. 可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成

g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=?(x )ψ(y )) 的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ?y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ?dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是. (4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ?y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ?10-y dy =10x dx . (6)x y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法: 第一步分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式; 第二步两端积分:??=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y ) G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dx dy 2=的通解. 解此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 xdx dy y 21=, 两边积分得 ??=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2 112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2 x Ce y =. 解此方程为可分离变量方程, 分离变量后得

用分离变量法解常微分方程

用分离变量法解常微分方程 . １直接可分离变量的微分方程 1.1形如 dx dy =()x f ()y ?(1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（1.1）改写成 ) (y dy ?=()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到通解：?)(x dy ?=?dx x f )(+c. (1.2) 其中，c 表示该常数，?)(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程(1.1)的解. 例1求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： (2)两边积分： c x dx y dy +-=-??2211，得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题. 例2曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率.

解：由题意得 y ' -=1法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1x X y y Y -'-=-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(12x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='，分离变量，解得 c y x =+22 2 ，其中c 为任意正数，如图1. ２变量可替换的微分方程通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变量分离方程的类型: 2.1齐次方程形如?? ? ??=x y dx dy ?(1.3) 的微分方程，称为齐次微分方程.这里)(u ?是u 的连续函数. 对方程(1.3)做变量变换 x y u =，(1.4) 即ux y =，于是 u dx du x dx dy +=.(1.5) 将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为 )(u u dx du x ?=+，图1

D微分方程的概念可分离变量的微分方程答案

第七章微分方程第一节微分方程的基本概念一、单项选择题 1. 下列各式中是常微分方程的为 B . A. 23y y += B. 2y y y '''+= C. 22xy y xy += D. x y x z z y ''++= 2. 微分方程3d d y x y x x =+的通解为y = B . A. 34x C x + B. 32x Cx + C. 33x C + D. 3 4 x Cx + 3. 函数y C x =-(C 为任意常数)是微分方程1xy y '''-=的 C . A. 通解 B. 特解 C. 是解，但既不是通解也不是特解 D. 不是解 4. 微分方程0y y ''+=的通解是y = D . A. sin A x B. cos B x C. sin cos x B x + D. sin cos A x B x + 5．已知某微分方程的通解为212()e x y C C x =+，且满足01x y ='=,00x y ==，则有 B . A. 2e x y = B. 2e x y x = C. 2(1)e x y x =+ D. 22e x y = 二、验证满足()ln y xy =的函数()y y x =是微分方程()220xy x y xy yy y '''''-++-=的解. 解：方程ln()y xy =两边同时对x 求导得11y y x y ''=+，整理得y y xy x '=-，两边再对x 求导得() ()3223()(1) 22y xy x y y xy xy xy xy y xy x xy x ''--+--+-''==--，将,y y '''代入原方程得()3223222()20()xy xy xy y y y xy x x y xy x xy x xy x xy x -+--++-=----.因此，由 ln()y xy =所确定的函数是微分方程的解.

可分离变量的微分方程

第二节可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等. 内容分布图示 ★ 可分离变量微分方程 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 齐次方程 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 可化为齐次方程的微分方程 ★ 例 11 ★ 例 12 ★ 例 13 ★ 例 14 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-2 ★ 返回内容要点：一、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程 ),(y x F dx dy =, 如果其右端函数能分解成)()(),(x g x f y x F =，即有 )()(y g x f dx dy =. (2.1) 则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(x g x f 都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法. 二、齐次方程：形如 ?? ? ??=x y f dx dy (2.8) 的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程.. 三、可化为齐次方程的方程：对于形如 ???? ??++++=222 111c y b x a c y b x a f dx dy 的方程，先求出两条直线 ,0111=++c y b x a 0222=++c y b x a 的交点),(00y x ，然后作平移变换

???-=-=00y y Y x x X 即 ? ??+=+=00y Y y x X x 这时，dX dY dx dy =，于是，原方程就化为齐次方程 ,2211???? ??++=Y b X a Y b X a f dX dY 例题选讲：可分离变量的微分方程例1（讲义例1）求微分方程xy dx dy 2=的通解. 例2（讲义例2）求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中. 例3 已知,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<

可分离变量的微分方程

用分离变量法解常微分方程

3-5 -可分离变量型方程及其解法

高数可分离变量的微分方程教案

可分离变量的微分方程

用分离变量法解常微分方程

D微分方程的概念可分离变量的微分方程答案

可分离变量的微分方程

最新3-5-可分离变量型方程及其解法汇总