必修四任意角(附答案)

任意角

[学习目标] 1.结合实际问题，了解角的概念的推广及其实际意义.2.掌握象限角的概念.3.掌握终边相同的角的表示方法．

知识点一任意角的概念

(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋

转到另一个位置OB所成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是

角α的始边和终边．

(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：

类型定义

正角按逆时针方向旋转形成的角

负角按顺时针方向旋转形成的角

零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角

思考经过1小时，时针转过多少度？

答案－30°.

知识点二象限角

如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

思考锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？

答案锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．

知识点三终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

思考1 下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表.

终边所在的位置角的集合

x 轴正半轴 {α|α＝k ·360°，k ∈Z } x 轴负半轴 {α|α＝k ·360°＋180°，k ∈Z } y 轴正半轴 {α|α＝k ·360°＋90°，k ∈Z } y 轴负半轴

{α|α＝k ·360°＋270°，k ∈Z }

思考2 下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.

α终边所在

的象限 角α的集合

第一象限 {α|k ·360°<α

{α|k ·360°－90°<α

题型一 终边相同的角与象限角 例1 已知角α＝2 010°.

(1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°. 解 (1)由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°. ∴取k ＝5，β＝210°，

α＝5×360°＋210°.

又β＝210°是第三象限角， ∴α为第三象限角． (2)与2 010°终边相同的角为

k ·360°＋2 010°(k ∈Z )．

令－360°≤k ·360°＋2 010°<720°(k ∈Z )， 解得－6712≤k <－37

12(k ∈Z )．

所以k ＝－6，－5，－4.

将k 的值代入k ·360°＋2 010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.

跟踪训练1 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．

(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.

解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．

(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．

(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．

题型二 等分角所在象限的判断

例2 已知α是第二象限角，试确定2α，α

2的终边所在的位置．

解 因为α是第二象限角，

所以k ·360°＋90°<α

2

所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，

n ·360°＋45°<α

2

即α

2

的终边在第一象限； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°<α

2

即α

2的终边在第三象限． 所以α

2

的终边在第一或第三象限．

跟踪训练2 已知α为第三象限角，则α

2所在的象限是( )

A ．第一或第二象限

B ．第二或第三象限

C ．第一或第三象限

D ．第二或第四象限 答案 D

解析 由于k ·360°＋180°<α

2·360°＋135°. 当k 为偶数时，α2为第二象限角；

当k 为奇数时，α

2为第四象限角．

题型三 终边相同角的应用 例3 已知，如图所示，

(1)写出终边落在射线OA ，OB 上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．

解 (1)终边落在射线OA 上的角的集合是{α|α＝k ·360°＋210°，

k ∈Z }．

终边落在射线OB 上的角的集合是{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }．

(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k ·360°＋210°≤α≤k ·360°＋300°，

k ∈Z }．

跟踪训练3 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合． 解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成． ①{α|k ·360°＋30°≤α