随机微分方程课件

随机微分方程——定义
1、随机微分方程的定义：
设X为n维的随机变量,W为m维的维纳运动，b和B是给定 的函数，并不是随机变量，b : R n 0, T Rn ， B : Rn 0, T M nm 那么随机微分方程可以表示成如下形式：
dX b( X , t )dt B( X , t )dW X (0) X 0
e 2b (t s ) ds)
2 e E ( X ) (1 e 2bt ) 2b 2 2bt 则X的方差为： V ( X (t )) e V ( X 0 ) (1 e2bt )
2bt
2b
E ( X (t )) 0 则当t趋于无穷大时：V ( X (t )) 2 2b
从解的形式来看，当t趋于无穷大时，X的渐近分布为正态 分布 N (0, ) ，与初始分布无关。
2
2b
8
随机微分方程举例
例3：乌伦贝克过程 布朗运动的另一随机微分方程模型：
bY Y Y (0) Y0 , Y (0) Y1
其中Y(t)是t时刻布朗粒子的位移，Y0与Y1是给定 的高斯随机变量，b>0是摩擦系数，σ是扩散系数， ξ通常为白噪声。 ，即X表示速率，则原方程等价于以下 若 X Y 朗之万方程：
13
逃逸问题
V(x)的双势阱结构图 如图所示：它在x的正负 无穷上都是受束缚的，势函 数有两个极小值（稳定解） 和一个极大值（不稳定解 ）。 如果不存在随机力的作用， 初态处于的势阱内的粒子将 逗留在原势阱内，它们将各 自趋于初态所处势阱的极小 值，即到达系统的稳定解。 而一旦到达了此稳态，粒子 将永远不再偏离。但若存在 随机力激励的条件下，则粒 子就可能在两个稳态之间跃 14 迁。
表示摩擦 bX 其中 X 表示线性的保守势场力， 阻尼力，ξ表示白噪声，可以通过一般的公式来求解 此随机微分方程。 当X1=0，b=0，σ=1时，随机微分方程的解为：
2
1 t X (t ) X 0 cos( t ) sin( (t s))dW 0
10
逃逸问题
3 A 4
如果振幅很小的话，粒子会很容易逃出势垒，存在临 界值振幅Ac，使得不存在噪声激励时，粒子逗留在原势阱 内，不会逃逸。对于不同的摩擦函数，临界值的表达式不 同。根据V的零切线的分叉可以可以计算出振幅的临界值。17
非线性摩擦下的逃逸率
0 所表示的直线 零切线：在不存在噪声的情况下， v 2 ( v ) v A ( 1 x )0 的 0 就是v的零切线。那么v的零切线为方程 图像，该方程是关于v的三次方程，如果给定x的值，速率 v存在三个解，位于中间的解是动态不稳定的，上下解的 分支形成粒子的轨迹，x零切线与v的切斜线相交仅仅形成 两个不稳定的固定点。通过上下解的分歧情况可以求出振 幅的临界值。
1.摩擦系数b可以是线性的，也可以是非线性的。 2.此方程中X的导数为一阶，然而X的导数也可 以是分数阶导数，即分数阶摩擦
11
逃逸问题 逃逸问题是研究系统在随机力作用下从稳态出发的演化 过程，尽管随机力很小，但是足以引起布朗粒子的逃逸，从 而使原来的稳态发生质的改变，我们基于以上的随机微分方 程来研究布朗粒子的逃逸问题。 若势函数V(x)是非线性的，且是单势阱，结构如下图：
x3 （2）势函数U(x)的表达式为： U ( x) A( x ) 3
，A表示振幅，
16
则U(x)的结构图如下：
非线性摩擦下的逃逸率
如图所示，势能最小 值坐标x-min=-1,为稳 定点，势能最大值坐 标x-max=1，为不稳 定点，x<1为束缚区， x>1为逃逸区。 该势阱的高度为3/4A。
15
非线性摩擦下的逃逸率 Model：
粒子的质量，假设m=1 高斯白噪声，噪声强度为D
v, mv (v)v 0U ( x) 2D (t ) x
（1）γ(v)表示非线性摩擦函数，在非平稳问题中，摩擦函 数有RH和SET两种形式。 2 RH摩擦函数的表达式： (v) 0 (v 2 u0 ) u0表示在没有噪声激励下，粒子最终到达的速度，假设 u0=1,γ0=20, (v) 0 (1 ), 1 ,假设β=2 2 SET摩擦函数的表达式： 1 v
随机微分方程及其应用
1
随机微分方程的重要性
近年来，随机微分方程，随机分析有了迅速发展，随 机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动 化等领域。 在经济领域，用随机微分方程来解决期权定价的问题， 在产品的销售，市场的价格等随机事件中，可根据大量 的试验数据确定某个随机变量，并附加初始条件建立随 机微分方程的数学模型，从而推断出总体的发展变化规 律。 在生物领域，用于揭示疾病的发生规律以及疾病的 传播流行过程，肿瘤演化机制等。 在物理领域，用于布朗粒子的逃逸与跃迁问题，反 常扩散。
如图所示，可以看出，当振幅小于临界值时，粒子的 轨迹与零切线很接近，并且很快逃出稳定区，当振幅大于 临界值时，粒子保持在最小值附近，轨迹类似于一极限环， 即布朗粒子的运动稳定在极限环内。 19
非线性摩擦下的逃逸率 Escape statistics ： 由以上讨论可知，在没有噪声激励的情况下，如果振
20
非线性摩擦下的逃逸率
逃逸率随噪声强度的变化如下图：
12
逃逸问题
从势函数的结构图中可以看出该势阱的高度为 V ，势 能最小值的位置坐标为xs ，也是V(x)的稳定点，最大值的 位置坐标为xu，也是V(x)的不稳定点。当 x V ( x) ，因此系统在负x方向是被束缚的，x<xu 叫 时， 做束缚区（稳定区）；而在x正方向不受束缚，即当x>xu,系 统会自动趋于无穷，所以x>xu叫做逃逸区。研究系统从束 缚区进入逃逸区的问题，就叫“逃逸问题”。 当势阱函数V(x)为双稳势阱时，在随机力的作用下，两 个势阱中的运动不再相互独立，初始在某一势阱内的系统， 会在不同时间以不同的概率进入另一势阱。逃逸问题也就转 化为系统在随机力的作用下两个稳态之间的跃迁问题。
3 Ac 2u0 /(33 2 ) ，当u0=1时， 对于RH摩擦函数临界振幅为： Ac=0.38
对于SET摩擦函数临界振幅为：
Ac (3 d ) (d ) (d 2 ) 2, d (8 )
当β=2时，Ac=0.3
18
非线性摩擦下的逃逸率
在无噪声激励下，布朗粒子的样本路径如图：
幅大于临界值，布朗粒子将逗留在稳定区内，在一极限 环内运动。如果存在噪声的激励，粒子将逃离稳定区， 随着噪声强度的增大，粒子越容易逃离，用逃逸率来衡 量粒子逃逸的容易度，研究随着噪声强度的增大，逃逸 率将如何变化。
在此逃逸率是用平均首次穿越时间的倒数来计算的。 为了测量不同噪声强度下粒子的逃逸率，选取初始状态为 x(0)=-1，v(0)=-1，计算粒子首次通过极限值xth=5的平均 时间，也可以选取稳定区内的其他初始状态，这并不影响 我们模拟的结果。
t 可以解出： E( P(t )) p0e
因此股票价格的期望值由股票的趋势项决定，与股 票的波动没有关系。
随机微分方程举例
例2：朗之万方程 存在摩擦力的情况下，布朗粒子的运动模型服从一 bX ，其中ξ表示白噪声， X 维的随机微分方程， b>0表示摩擦系数，σ表示扩散系数。在此方程中，X 代表布朗粒子的运动速率。X0与维纳过程相互独立， 因为白噪声是维纳过程对时间的导数，所以此方程等 价于下面的随机微分方程： dX bXdt dW
2
2bt
X 2e X 0 e
2 0 bt 0 bt 2 0 t 0
dW ( e b (t s ) dW ) 2 )
2 0 2
t
e
2bt
E ( X ) 2e E ( X ) E ( e
2 0 2 0
b ( t s )
dW ) E (

t
0
逃逸问题
逃逸率和平均首次穿越时间是用来刻画逃逸过程和 跃迁过程的两个重要的特征量，布朗粒子首次穿过势垒 所用的时间即为首通时间，由于随机力的作用，在同样 条件的各次实验中，首通时间是各不相同的，即从一个 稳态出发系统越过势垒进入另一势阱所用时间在各次试 验中是不同的，这些时间的平均值叫作平均第一渡越时 间（MFPT）。
X (t ) X 0 b( X ( s), s)ds B( X ( s), s)dW 那么X就是此随 若X满足等式： 0 0 机微分方程的解。 如果系数b和B分别满足：b(x,t)=c(t)+D(t)x，B(x,t)=E(t)+F(t)x, 那么就称此方程为线性随机微分方程。如果c(t)=E(t)=0，那么 线性随机微分方程是齐次的。如果F(t)=0，这称随机微分方程 狭义上是线性。
dX bXdt dW X (0) Y1
则方程的解为：X (t ) e Y1 0 eb(t s ) dW
bt
t
wk.baidu.com
9
随机微分方程举例
Y (t ) Y0 X ds 则可以解出原微分方程的解Y(t)： 0
t
例4：随机谐波振子
2 X bX X X (0) X 0 , X (0) X 1
解为： X (t ) (t )( X 0 ( s) 1 (c( s) e( s) f ( s))ds) ( s) 1 e( s)dW )
0 0
t
t
其中
f2 (t ) exp( (d )ds fdW ) 2 0 0
t
t
4
随机微分方程举例
2、线性随机微分方程举例 例1、股票价格 设P(t)表示在t时刻股票的价格，通过股票价格的变 化率可以建立P(t)的随机微分方程：
随机谐波振子的微分方程进行推广可以的得到如下方程：
bX V ( x) (t ) X X (0) X 0 , X (0) X1
随机力或噪声项，通 常为高斯白噪声
阻尼力，b是摩擦系数
保守势场力，V(x)即为势函数，在 随机谐波振子微分方程中 V ( x) 2 X 为线性的，当势函数为非线性的 时，就会存在逃逸的问题。
dP dt dW P
其中υ和σ为常数，υ>0 表示股票趋势项，σ表示股票波 动项，则微分方程转化为下面的形式：
dP Pdt PdW
2 2 dP 1 P 根据伊藤公式可知： d (log(P)) dt 2 P 2 P 2 ( )dt dW 2
随机微分方程举例
X (0) X 0
根据线性随机微分方程解的形式可以求得此微 t bt 分方程的解为：X (t ) e X 0 eb(t s ) dW
0
7
随机微分方程举例
E( X (t )) e 可以求出X的期望：
bt
E( X 0 )
t b ( t s )
E ( X (t )) E (e
可以解出P(t)：P(t ) p0e 由此可知，若初始价格为正直，则股票价格总是正的。
2
W ( t ) (
2
)t
P(t ) p0 Pds PdW 由随机微分方程可知：
t
t
并且
E ( PdW ) 0
0
t
，则可知：
t 0
0
0
E( P(t )) p0 E( P(s))ds
3
t t
随机微分方程——解的形式
2、线性随机微分方程的解的形式 以上我们定义的是基于n维随机变量和m维布朗运动的 随机微分方程，实际应用中大多数为一维的情况，以下给 出一维中随机微分方程的解的具体形式 当m=n=1时，线性随机微分方程的一般形式如下：
dX (c(t ) d (t ) X )dt (e(t ) f (t ) X )dW X (0) X 0