01概率论的基本概念

目前世界男女比例：
21
20பைடு நூலகம்
而中国目前男女出生比例120:100 预计到2020年将会出现3000万“光棍”
木柴燃烧,产生热量
明天，地球还会转动
实心铁块丢入水中,铁块浮起
在00C下，这些雪融化
在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某 种结果，这种现象就是确定性现象。
转盘转动后，指针指向黄 色区域
1 P( A) P( B ) 0 P( B ) 1 P( A) 1 p
§1 随机试验(简称“试验”)
随机试验的特点：
1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可 能结果； 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。
随机试验可表示为 E 。
随机试验的例子
E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况. E2: 将一枚硬币抛三次，观察正面H、反面T出现的情 况. E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面H的情况. E4: 抛一颗骰子，观察出现的点数. E5: 纪录某城市120急救电话台一昼夜接到的传呼次数. E6: 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命. E7: 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.
B
A
S
6
若 ，则称事 件A与事件B互为逆事件，或互为对立 事件，即指对每次试验而言，事件A、 B中必有且仅有一个发生。A的对立事 件记为 ，
B
B
S
事件的运算定律
交换律： 结合律：
分配律：
德摩根律：
例 2 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹 ，以 A 、 B 、 C 分别表示甲、乙、丙命中目标， 试用A、B、C的运算关系表示下列事件：
2. 概率的性质 (１) (２)有限可加性：若 件，则有 是两两不相容的事
(３)设Ａ、Ｂ是两个事件，若
，则有
（单调不减性）
(4)
对任一事件A，
(5) （逆事件的概率）对任一事件A， 有
(6) （加法公式）对于任意两事件A，B， 有
事件互斥时的加法公式
P( A B) P( A) P( B)
B
A
S
3 事件 与事件B的积事件； 事件 发生 记作AB）；类似的，
称为事件A A、B同时发生（也
B
AB A
S
4
事件 与事件B的差事件； A发生、B不发生 事件
称为事件A 发生
B
AB A
S
思考：何时A-B=?何时A-B=A？
5 若 ，则称事件A与事件B是 互不相容的，或互斥的，即事件A与事件 B不能同时发生。它们包含的基本事件是 两两互不相容的。
可用它
（二）概率
1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的 每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满 足条件： (1) 非负性: P(A) ≥0； (2) 规范性: P(S)＝1； (3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。
事件相容时的加法公式
A
B
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
B
AB A
1、已知 A B, P( A) 0.2, P( B) 0.3, 求：
(1)P( A ) (2)P( A B) (3)P( AB) (4)P( A B) (5)P( A B )
B A
（如E1两个基本事件{ H }和{ T }）
两个特殊的子集： 样本空间S是自身的子集，在每次试 验中总是发生，称为必然事件（或用Ω表 示） 空集 不包含任何事件，也是样本空 间S的子集，每次试验都不发生，称为不可 能事件。
同一个样本空间，可以有不同的子集，因而 所对应的事件可以不同 例1 试验E2: 将一枚硬币抛三次，观察正面H、反 面T出现的情况. 样本空间S2: {HHH，HHT，HTH，THH， HTT，THT，TTH，TTT} 事件A1：“第一次出现的是正面”，即 A1 = {HHH，HHT，HTH， HTT} 事件A2：“三次出现同一面”，即 A2 = {HHH，TTT}
《概率论与数理统计》
（第四版）浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社
概率论的起源
早些时候，法国有个大数学家叫做巴斯卡尔。巴斯卡尔 认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说， 他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。 赌了半天， A 赢了 4 局， B 赢了 3 局，时间很晚了，他们都 不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？ 是不是把钱分成 7 份，赢了 4 局的就拿 4 份，赢了 3 局的就 拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所 以就一人分一半呢？ 这两种分法都不对。正确的答案是：赢了 4局的拿这个钱 的3／4,赢了3局的拿这个钱的1／4。 为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者 A 赢，或者 B 赢。 若是A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了，即A、B各赢4 局，这个钱应该对半分。现在，A赢、输的可能性都是1／2, 所以，他拿的钱应该是1／2×1＋1／2×1／2＝3／4,当然， B就应该得1／4。
男女出生比例
公元1814年，法国数学家拉普拉斯(Laplace 1794－1827) 在他的新作《概率的哲学探讨》一书中，记载了一下有趣的统 计．他根据伦敦，彼得堡，柏林和全法国的统计资料，得出了 几乎完全一致的男婴和女婴出生数的比值是 22： 21，即在全体 出生婴儿中，男婴占51.2%，女婴占48.8%．可奇怪的是，当他 统计1745－1784整整四十年间巴黎男婴出生率时，却得到了另 一个比是25：24，男婴占51.02%，与前者相差0.14%．对于这 千分之一点四的微小差异，拉普拉斯感到困惑不解，他深信自 然规律，他觉得这千分之一点四的后面，一定有深刻的因 素．于是，他深入进行调查研究，终于发现：当时巴黎人“重 女轻男”，有抛弃男婴的陋俗，以至于歪曲了出生率的真相， 经过修正，巴黎的男女婴的出生比率依然是22 ： 21．
§2 样本空间、随机事件
(一） 样本空间
实验E的所有可能结果所组成的集合称 为样本空间，记为S={e}；试验的每一个结 果或样本空间的元素称为一个样本点,记为
e. 由一个样本点组成的单点集称为一个基
本事件, 记为{e}.
例： 给出E1-E7的样本空间
S1: {H，T}； S2: {HHH，HHT，HTH， THH，HTT，THT， TTH，TTT}； S3: {0，1，2，3}； S4: {1，2，3，4，5，6}； S5: {0，1，2，3，…}； S6: {t | t ≥ 0} S7: {（x，y) | T0 ≤x ≤y≤ T1 ， x表示最低气温，y表示最高 气温，设此地区的温度不会 小于T0也不会大于T1 }
例4 所示的电路中，A表示“信号灯亮”； B、C、 D分别代表I、II、III接合
BC A，BD A， BC BD A
II I III
BA Φ
B C ?
§3 频率与概率
问题： 对于一个事件（除必然事和不可 能事件），在每一次试验中，它有可能发 生也有可能不发生，要找一个数来表示事 件在一次试验中发生的可能性大小。为此， 引入频率 —— 描述事件发生的频繁程度和 概率 —— 表征事件在一次试验中发生的可 能性大小的数.
例3
试验E2: 将一枚硬币抛三次，观察正面H、反面T出 现的情况. S2: {HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT， TTH，TTT} A1：“第一次出现的是正面”，A1 = {HHH，HHT， HTH， HTT} A2：“三次出现同一面”，A2 = {HHH，TTT}
求 A1 A2；A1 A2；A2 A1；A1 A2的逆事件 请说出这些事件在概率论中的意义?
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
实践证明： 当试验次数 n 增大时， fn(A) 逐渐趋 向一个稳定值。可将此稳定值记作 P(A)，作为事 件A的概率.
频率的性质:
(1) 0 fn(A) 1；
(2) fn(S)＝1； fn( )=0
概率天气预报
概率天气预报是用概率值表示预报量出现可能性的大小， 它所提供的不是某种天气现象的\“有\”或\“无\”，某种气象要 素值的\“大\”或\“小\”，而是天气现象出现的可能性有多大。 如对降水的预报，传统的天气预报一般预报有雨或无雨，而 概率预报则给出可能出现降水的百分数，百分数越大，出现 降水的可能性越大。一般来讲，概率值小于或等于 30%，可 认为基本不会降水；概率值在30%-60%，降水可能发生，但 可能性较小；概率在60%-70%，降水可能性很大；概率值大 于70%，有降水发生。概率天气预报既反映了天气变化确定 性的一面，又反映了天气变化的不确定性和不确定程度。在 许多情况下，这种预报形式更能适应经济活动和军事活动中 决策的需要。
（一）频率
定义
在相同的条件下进行n次试验，在 称为 称为事件
这n次试验中，事件A发生的次数 事件A发生的频数。比值
A发生的频率，记为
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬 币时，出现正反面的机会均等。 实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
答案： (1)0.8 (3) 0.2 (4)0.1
(2)0.3 (5) 0.8
2. 已知 A, B两事件满足条件P( AB) P( A B ), 且P( A) p，求P( B) ? 解： P( AB) P( A B ) P( A B) 1 P( A B)
1 P( A) P( B) P( AB)
又如 E6: 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命. S6 : { t | t ≥ 0} A3 = { t | 0≤ t < 1000} E7: 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度. S7: {（x，y) | T0 ≤x ≤y≤ T1 ，x表示最低气 温，y表示最高气温，设此地区的温度不 会小于T0也不会大于T1 }
(3) 可加性：若AB＝ ，则 fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B).
频率的大小表示事件A发生的频繁程度，频率大， A 发生的可能性就大，是否能用频率来表示事件A 在一次试验中发生的可能性大小呢？ 当重复试验的次数n逐渐增大时，频率 稳定性，逐渐稳定与某一常数。 “频率稳定性”——统计规律性。 因此让实验重复大量次数，计算频率 来表示事件A发生的可能性大小。 呈现出
A4 = {（x，y) | y – x = 10，T0 ≤x ≤y≤ T1 }
在掷骰子试验中，试举例说出下列事件 必然事件： “掷出点数小于7”;
不可能事件： “掷出点数8”
（三）事件间的关系与事件的运算
事件是一个集合， 事件的关系和运算就自然的按照集合的关 系和运算进行。 事件的关系和运算对应着各自在概率论中 的意义。
样本空间的元素（即 样本点）由试验目的 确定， E2 E3实验方法 一样，但是样本空间 却不一样
（二）随机事件
在实际中，往往关心满足某些条件的样本 点所组成的集合。 随机事件（事件）：试验 E 的样本空间 S 的 子集。 每次试验中，当仅当此子集中的一个样本 点出现时，称这一事件发生。 基本事件：由一个样本点组成的单点集。
这两人各买1张彩票， 她们中奖了
在一定条件下，某种现象可能发生也可能不 发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就 是随机现象。
概率论是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性 概率论——研究和揭示随机现象的统计规 律性的科学
第一章 概率论的基本概念

随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型（古典概型） 条件概率 独立性
设试验E的样本空间为S，而A，B，Ak（k = 1,2,…）是S的子集。 1 若 A B ，则称事件B包含事件 A ，即指事件A发生必导致事件 B发生 若 A B且B A，即A B ，则称事件 A与事件B相等。
B
A
S
2 事件 A与事件B的和事件； 事件 发生 发生；类似的，
称为事件 A、B中至少有一个