等比数列课件.ppt

an
a1
am
7.等比数列通项公式的应用：知三求一
例、一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18,求它的第1项与第2项.
a 解：设这个等比数列的第1项是 ,公比是q ，那么 1 a q2 12 1
a q3 18 1
解得，
q百度文库 2
16
，
a 1
3
因此 a a q 16 3 8
2
1
32
16
则
G b, aG
即a,G,b成等比数列. 2
∴a, G, b成等比数列 G ab (ab>0)
3.等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a, G， b成等比数列，那么称这个数G为a与 b的等比中项.
即： G是a、b的等比中项
G2 ab (ab 0)
G ab (ab 0)
注意：若a，b异号则无等比中项, 若a，b同号则有两个等比中项.
4.等比数列的通项公式：
以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通
项公式为：an a1 qn1(a1, q 0；n N *)
5.等比数列通项公式的推广：
an am qnm (am , q 0；m, n N*)
6.等比数列的公比公式：
q an1 ，qn1 an ，qnm an
等比数列
问题情境:
情境一:折纸
如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折，
再对折，再对折‥‥‥依次对折50次，你相
信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间 建一座桥？
对折 纸的
n
次数
对 折 一 次
对 折 二 次
对 折 三 次
对
对
折 四 次
…...
折
n
次
…...
纸的
2
层数
48
16 …...
情境二:《庄子·天下篇》中写到： “一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
练习：
（1）求45与80的等比中项
60
（2）已知b是a与c的等比中项，且 abc 27,求b
b3
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一、等比数列的通项公式:递推法
a2 a1
q a2
a1q
a
aa4 a3
3 q
2
q
……
a3
a4
a2q a1q2
a3q a1q3
an a1qn1
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a 0 时,既是等差数列，又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列，而不是等比数列.
思考：
如果在a与b的中间插入一个数G，使a, G, b 成等比数列，那么G应该满足什么条件？
分析： 由a, G, b成等比数列得：
G b G2 ab G ab aG
反之，若 G2 ab, (ab>0)
答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8.
3
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课堂互动
(1)一个等比数列的第5项是 4,公比是 1 ，求它的第1项；
9
3
解：设它的第一项是 a ，则由题意得 1
a1
(
1 )51 3
4 9
解得， a1 36
答：它的第一项是36 .
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.
不是 不是 是 a1=x0, q=x 不是
小结：判断一个数列是不是等比数列， 主要是由定义进行判断：
看 an1 是不是同一个常数？ an
注意：
(1) 等比数列｛an｝中, an≠0； (2)公比q一定是由后项比前项所得，而不
能用前项比后项来求，且q≠0； (3)若q＝1，则该数列为常数列．
(4)常数列 a, a , a , a , …
第
第
第
第
第
一 天 取
二 天 取
三 天 取
四 天 取
n
......
天 取
设
半
半
半
半
半
木
棰
长
度 为
1
......
木棰
1
1
1
1
长度
2
4
8
16
......
观察上述情境中得到的这几个数列，看有
何共同特点?
2, 4, 8, 16, …;
①
1, 1/2, 1/4, 1/8, … ；
②
1, 20, 202, 203, … ；
课堂小结
等比数列
名称
等差数列
从第2项起,每一项与它前
从第2项起,每一项与它前
一项的比等于同一个常数 概念 一项的差等于同一个常数
公比(q )
公差(d )
q可正、可负、不可零 常数 d 可正、可负、可零
an
(q
a1q0n，1 n
N
*
)
通项 公式1
an
a1
(n 1)d
(n N*)
an(qam0q，nnm, m N *)
等比数列的通项公式：叠乘法
a2 a3 a4 a5 ...... an an qn1
a1 a2 a3 a4
an1 a1
an a1q n1
等比数列注： （1）等比数列的首项不为0； （2）等比数列的每一项都不为0，即an 0 （3） q=1时，{an}为常数列；
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an1 q (q为常数，且q≠0 ；n∈N*) an
[或 an q (q为常数，且q≠0 ；n≥2且n∈N*) ] an1
练习
判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪
些不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如 果不是，说明理由。
(1) 1，3，9，27，… 是 a1=1, q=3
(2)
1 , 1 , 1 , 1 , 2 4 8 16
是
a1
1 2
，q 1 2
(3) 5， 5， 5， 5，…
是 a1=5, q=1
(4) 1，-1，1，-1，… 是 a1=1, q= -1
(5) 1，0，1，0，…
不是
(6) 0，0，0，0，… (7) 1, a, a2, a3 , … (8) x0, x, x2, x3 , … (9) 1，2，6，18，…
通项 公式2
an
am
(n m)d
(n, m N *)
G是a、b的等比中项 中项 A是a、b的等差中项
G2 ab (ab 0)
2A a b
课后作业
1、已知等差数列{an}的公差为2,若 a1,a3,a4成等比数列,求a2=？
③
-2, 2, -2, 2, ….
④
共同特点：从第二项起，每一项与前一项 的比都等于同一个常数．
讲授新课
1. 等比数列的定义: 一般地，若一个数列从第二项起，每一
项与它的前一项的比等于同一个常数，这个 数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的 公比，用字母q (q≠0) 表示.
2.等比数列定义的符号语言:
解：设它的第一项是
a ，公比是 1
q
，则由题意得
a1q 10 ， a1q 2 20
解得， a1 5 ， q 2
因此 a4 a1q3 40 答：它的第一项是5，第4项是40.
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练习： 求下列各等比数列的通项公式： (1) a1＝5, 且2an＋1＝－3an .
(2) a3 1 , a5 9