线性代数基本计算题

线性代数基本计算

一. 行列式 1. 计算排列的逆序数； 2. 计算行列式的一行（列）元素的代数余子式及余子式之和；

3. 计算行列式⎧⎨⎩

化为三角形行列式计算

利用行列式展开定理计算

二. 矩阵 1. 计算矩阵的乘积； 2. 计算方阵的方幂； 3. 判断方阵的可逆性

()

()||0()0ij n n

A a A

B E BA E A r A n

A Ax ⨯=⇔==⇔≠⇔=⇔⇔=可逆

的列（行）向量组线性无关齐次线性方程组只有零解

4. 求可逆方阵的逆阵1

11||(,)(,)A A A A E E A -*-⎧=⎪⎪

⎨

⎪⎪⎩

公式法:初等行变换初等变换法：

5. 解矩阵方程

1,||0,(,)(,)AX B A X A B A B E X -=≠⇒=−−−−→初等行变换

1

,||0,

(,)(,)T

T

T XA B A X BA A E A B E X B X -=≠⇒=⎛⎫⎛⎫

−−−−→−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

初等行变换

初等列变换或

6. 计算矩阵的秩

()A A r A A −−−−→⇒=初等行变换

阶梯形矩阵的非零行数

三. 线性方程组

1.判断线性方程组是否有解，确定解的个数

(1)()()Ax r A r A β=⇔=有解，

r n r n =⇒<⇒有唯一解；有无穷解

(2)0()=,0||0n n Ax r A n A x A ⨯=⇔=⇔≠只有零解特别：只有零解

0(),0||0n n Ax r A n A x A ⨯=⇔<=⇔=有非零解特别：有非零解

2.求线性方程组的一般解 消元法

3.判断一个向量能否由一个向量组线性表示

4.判断两个向量组是否等价

5.判断向量组是线性相关还是线性无关 11111(,,),,,,,,0s s s s s A k k k k αααααα=⇔∃++= 线性相关

不全为零的数使得 ()r A s ⇔<

11111(,,),,,0===0s s s s s A k k k k αααααα=⇔++=⇒ 线性无关

()r A s ⇔=

特别：1,,,||0n n n A A αα⨯⇔= 线性相关；

1,,||0n A αα⇔≠ 线性无关

6.求向量组的极大无关组与秩

7.求齐次线性方程组的基础解系 四. 欧氏空间 1. 求向量与已知向量组正交 2. 把线性无关组化为正交向量组（Schmidt 正交化方法） 3. 判断向量组是否为标准正交组 五. 矩阵的特征值与特征向量 1. 求矩阵的特征值与特征向量 2. 计算矩阵行列式

1212,,,||n n A A λλλλλλ⇒= 是的全部特征值 3. 判断矩阵是否可以对角化 4.

k A A 已知可以对角化，求 111..k k P AP A P P A P P ---=Λ⇒=Λ=Λ特别地，

5.1,T A Q Q AQ Q AQ -==Λ是实对称矩阵，求正交矩阵使得 六.二次型

1.用配方法化二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换

2.用正交变换化二次型为标准形，并写出所用的正交变换

3.求二次型的秩，正惯性指数，负惯性指数，符号差

4.判断实（对称矩阵）二次型是否正定（霍尔维茨定理）