34基本不等式
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当a b时 (a b)2 0 当a b时 (a b)2 0 所以(a b)2≥0
所以a2 b2≥2ab.
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
a2 b2B> 2ab (a≠b)
B
a2 b2＝ 2ab (a＝b)
猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a2 b2≥2ab 的证明吗？ 证明：（作差法） a2 b2 2ab (a b)2
D a OC b B
E
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=____a_b_
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即：
a b≥ 2
ab
(a 0,b 0)
你能用不等式的性质直接推导来自百度文库个不等式吗？
证明不等式：a b≥ ab (a 0,b 0)
2
证明：要证 a b≥ ab
练习3.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其 容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造 价为150元，池壁每1m2的造价为120元， 问怎样设计水池能使总造价最低？ 最低总造价是多少元？
复习回顾
1. a、b R，a2 b2 2ab (当且仅当a b时取等号）
a、b R， ab a2 b2 (同上） 2
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=____a_b_
Rt△ACD∽Rt△DCB， 所以 BC DC DC AC
所以DC2 BC AC ab
2. a、b R , a b ab (当且仅当a b时取等号） 2
a、b R , a b 2 ab (同上）
a、b R , ab ( a b)2 (同上） 2
例1、若x 0,求函数y x 1 的最小值，并求此时x的值。 x
变式1：已知x<0,求函数y=x+ 1的最大值，并求此时x的值。 x
分 析
只要证 2 a b≥_2___a_b__
法
①
要证①，只要证 a b 2___a_b_≥0
②
(a 0,b 0, a ( a)2,b ( b)2)
要证②，只要证 (__a_ __b_)2≥0
③
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
基本不等式
特别地，若a>0，b>0，则 a b __≥___ 2 ab
,
求函数y
4x
2
4
1 x
的最大值。 5
（2）已知x>0,y>0,且5x+7y=20，求xy的最大值。
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
a
b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
解：设污水处理池的长为 x m 、 宽为 ym,总造价为z元，则
xy=200
z=400·(2x+2y)+248×2y+80×200 =800x+1296y+16000.
≥ 2 800x 1296 y 16000 30400
当且仅当800x=1296y, 即x=18时，取等号。 答：池长18m，宽100/9 m时， 造价最低为30400元。
新课引入
北京第２４届国际数学家大会的会标， 会标是根据中国古代数学家赵爽的 ＂弦图＂设计的。
D
a2 b2
b
G
F
A
aHE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S>S′即
问：那么它们有相等的情况吗？ a2 b2 > 2ab (a≠b)
结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
例2:
某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2 的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四 周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造 单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水 池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的 长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。
一、正
变式2：已知x>3,求函数y=x+ 1 的最小值，并求此时x的值。 x-3
二、定
变式3：已知x
3,求函数y=x+
1 x
的最小值，并求此时x的值。
三、相等
例2、已知0<x<1,求函数y=x（1-x）的最大值。
变式：已知0<x<
1 3
, 求函数y
（x 1-3x）的最大值
例3、（1）已知x<
5 4
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
x y xy 2
x y 2 100, 2(x y) 40
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最 短，最短的篱笆是40m.
例1.（2）用一段长为36m的篱笆围成一 个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各 为多少时，菜园的面积最大，最大面积是 多少？
D a OC b B
E
③OD与CD的大小关系怎样? OD__≥＞___CD
a b≥ ab 2
几何意义：半径不小于弦长的一半
例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少？
结论1：两个正数积为定值，则和有最小值
解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
所以a2 b2≥2ab.
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
a2 b2B> 2ab (a≠b)
B
a2 b2＝ 2ab (a＝b)
猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a2 b2≥2ab 的证明吗？ 证明：（作差法） a2 b2 2ab (a b)2
D a OC b B
E
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=____a_b_
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即：
a b≥ 2
ab
(a 0,b 0)
你能用不等式的性质直接推导来自百度文库个不等式吗？
证明不等式：a b≥ ab (a 0,b 0)
2
证明：要证 a b≥ ab
练习3.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其 容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造 价为150元，池壁每1m2的造价为120元， 问怎样设计水池能使总造价最低？ 最低总造价是多少元？
复习回顾
1. a、b R，a2 b2 2ab (当且仅当a b时取等号）
a、b R， ab a2 b2 (同上） 2
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=____a_b_
Rt△ACD∽Rt△DCB， 所以 BC DC DC AC
所以DC2 BC AC ab
2. a、b R , a b ab (当且仅当a b时取等号） 2
a、b R , a b 2 ab (同上）
a、b R , ab ( a b)2 (同上） 2
例1、若x 0,求函数y x 1 的最小值，并求此时x的值。 x
变式1：已知x<0,求函数y=x+ 1的最大值，并求此时x的值。 x
分 析
只要证 2 a b≥_2___a_b__
法
①
要证①，只要证 a b 2___a_b_≥0
②
(a 0,b 0, a ( a)2,b ( b)2)
要证②，只要证 (__a_ __b_)2≥0
③
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
基本不等式
特别地，若a>0，b>0，则 a b __≥___ 2 ab
,
求函数y
4x
2
4
1 x
的最大值。 5
（2）已知x>0,y>0,且5x+7y=20，求xy的最大值。
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
a
b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
解：设污水处理池的长为 x m 、 宽为 ym,总造价为z元，则
xy=200
z=400·(2x+2y)+248×2y+80×200 =800x+1296y+16000.
≥ 2 800x 1296 y 16000 30400
当且仅当800x=1296y, 即x=18时，取等号。 答：池长18m，宽100/9 m时， 造价最低为30400元。
新课引入
北京第２４届国际数学家大会的会标， 会标是根据中国古代数学家赵爽的 ＂弦图＂设计的。
D
a2 b2
b
G
F
A
aHE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S>S′即
问：那么它们有相等的情况吗？ a2 b2 > 2ab (a≠b)
结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
例2:
某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2 的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四 周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造 单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水 池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的 长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。
一、正
变式2：已知x>3,求函数y=x+ 1 的最小值，并求此时x的值。 x-3
二、定
变式3：已知x
3,求函数y=x+
1 x
的最小值，并求此时x的值。
三、相等
例2、已知0<x<1,求函数y=x（1-x）的最大值。
变式：已知0<x<
1 3
, 求函数y
（x 1-3x）的最大值
例3、（1）已知x<
5 4
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
x y xy 2
x y 2 100, 2(x y) 40
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最 短，最短的篱笆是40m.
例1.（2）用一段长为36m的篱笆围成一 个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各 为多少时，菜园的面积最大，最大面积是 多少？
D a OC b B
E
③OD与CD的大小关系怎样? OD__≥＞___CD
a b≥ ab 2
几何意义：半径不小于弦长的一半
例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少？
结论1：两个正数积为定值，则和有最小值
解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，