2.3 电位电偶极子

球坐标系下拉普拉斯方程为：
2 1 2 (r )0 r 2 r r
积分得：

C1 C2 r
代入边界条件得： C1 aU 0
C2 0
故：
aU 0 (r a) r
aU 0 E er er 2 r r
【例2】 已知半径为a，带电为q的均匀带电导体球面。求球内 、外的电场和电位分布。
第二章 静电场
2.3 静电场的旋度和静电 场的电位
主要内容



静电场的旋度 静电场的电位 泊松方程 电偶极子
学习目的



掌握电位的求解方法 掌握静电场的旋度方程 掌握电场强度与电位之间的关系 了解电偶极子产生的电场
一、静电场的旋度
B
eR dl q q E dl 4 0 R 2 4 0 l l dR q R 2 4 0 RA
当 r ≤a
E dl E2 dl E1 dl
r r a


a



0 a 2 r 2 a 4 r 4 2a 3 [ ] 0 6 20a 2 15
当 r≥a


r
2 0 a3 E dl E1 dl dr r r 15 r 2 0
2 0 a3 15 0 r
1
四、电偶极子
z
q l
(1 x)
1
2
1 3 1 x x2 .......(1 x 1) 2 8
r r r
P r , ,
当 r l
1 1 1 2 l cos r r r q 1 1 1 l cos 因此 4 0 r 2 r r
q 4π 0
从而有 从而球外电位为
C1

q 4π 0 r
q
0
球内电位为一常数 4π a
内容小结
1. 静电场的基本方程
s
D dS q
D
E dl 0
E 0
2. 静电场的电位
3. 电偶极子
方法三：利用解电位方程的方法计算 由于电荷对称分布，因而电位仅仅是坐标r的函数，球外电位满足拉普 拉斯方程 2 0 其解为：

C1 C2 r
当r
0
常数C1由球面上的边界条件确定，在球面r=a上
s
C1 q 0 Er 0 0 2 4πa 2 r a
E dl E dr
a a



q 4π 0 r
q 4π 0 r
a
dr 2
q 4π 0 a
q 4π 0 r
当场点位于球面以外时，即r>a时。有
E dl E dr
r r



r
dr 2
0
若空间电荷分布为零，则有
2 0
电 位 的 泊 松 方 程
电位满足的拉普拉斯方程
【例2-6】半径为a的带电导体球面，已知球体电位为U0，球外无电荷，
试计算球外空间的电位及电场强度。
【解】：球外空间的电位满足拉普拉斯方程
2 0( 0)
边界条件为
r a时， U 0 r 时， 0
l


P
E dl
1 p er 1 pr 4π 0 r 2 4π 0 r 3 p e 2cos e sin E 3 r 4 r
B A
以无穷远处为零电位参考点。
（2）电位的计算
a.点电荷的电位计算
1 qeR q dR R2 dl 4 0 R2 4 0 R R


q C 4 0 R
若取无穷远处的电位为零，则
q 4 0 R
多个点电荷的电位计算：
1 N qi 4π 0 i 1 Ri
E p e 2cos e sin 3 r 4 0 r
r r 2 l 2 2rl cos 1 1 1 r r 2 l 2 2rl cos r 1 ( l ) 2 2l cos r r
等三种计算静电场的方法。
中为常数。试计算球内外的电通密度（电位移矢量）和电位函数。 0 【解】: 电场具有球对称性， D 沿半径方向且大小为r的函数，作一 个与球同心、半径为r的高斯球面，由高斯定理得： 当 r≥a D1 d S q
【例1】 电荷按体密度 r 0 1 r
s a2 4π 0

0
2
sin a sin ( z a cos )
q (r a) 4π 0 r q (r a) 4π 0 a
2
d d

方法二：使用电场强度的线积分计算。

a
E dl
当场点位于球面上或球内时，即r≤a时。因为球内的电场强度为零， 球内是等位体，故
r r ' a 2 sin 2 ( z a cos ) 2
dS a2 sin d d
1 4π 0

s
s 1 ' ds 4π 0 r r

2 2 0

s
a sin ( z a cos )
2 2 2
s
a 2 sin d d
Ex x Ey y Ez z
◇ 电位定义： P点和无穷远处的电位差称为P点的电位。
d El dl E dl
◇ 空间A、B 两点的电位差


P
E dl
B A E dl
求电位可采用以下三种方法来求解。 方法一：使用分布电荷的电位公式计算。

1 4π 0

s
s ' ds r r

场点为： 源点为： 面元为：

r zez
'
r a sin cos ex a sin sin ey a cos ez

q

q l cos 4 0 r 2
取如图所示坐标系，场点 P r, , 的电 位等于两个点电荷电位的叠加

q 1 1 q 1 1 4 0 r r 4 0 r r
来自百度文库
引入电偶极矩p p ql 得电偶极子的电位 1 p er 1 pr 4π 0 r 2 4π 0 r 3 电偶极子的电场强度
而
上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的 大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角 有关。这些特点 与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。
五、泊松方程、拉普拉斯方程
E
E 0
0
2
P
电场线与等位面一定处处保持垂直。若规定相邻的等位面之间
的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而
场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强 弱。

E


电场线 等位面



静电场特性的进一步认识：
（1）静电场的电场线是不可能闭合的 ，而且也不可能相交。 （2）任意两点之间电场强度 E 的线积分与路径无关。真空中的静 电场和重力场一样，它是一种保守场。 （3）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，或 者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电场强度
当 r ≤a
D2 dS q
S
2 r4 r3 r5 4r D2 r 4r dr =40 r 2 dr 40 a 3 5a 0 0
r r 2 2
r r3 0 r r 3 于是 D2 0 2 , E2 2 0 3 5a 3 5a
真空中静电场是有源无旋场。
二、静电场的电位
（1）电位的定义
由
E 0 E
直 角 坐 标 系
称为静电场的标量位函数，又称电位函数
E ex ey ez x y z
◇ E 在任意方向上的分量 El l ◇ 由此可求得电位的微分
2
/ a2 分布于半径为a 的球形区域内， 其

s
2 r4 8 4r D1 = r 4r dr 40 r 2 dr 0 a3 a 15 0 0
a a 2 2
2 a3 2 0 a 3 于是 D1 0 , E1 15 r 2 15 0 r 2
RB
1 1 RA RB
RB
q
l
当A、B 两点重合，得
E dl 0
l
RA
E 0
A
斯托克斯定理
真空中静电场的基本方程
q E dS 0 s E dl 0
l
E 0 E 0
【解】：电场分布有球对称性，且方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面（即球面）。 由高斯定理，通过此高斯面的电通量为
D dS D dS D 4πr 2＝ q, D
S

q
4πr 2
S
r≤a时，高斯面内无电荷，
D 0，E＝ D
q 0
0
0
ra时，高斯面包围电荷为q，即 q q q D q D ，E＝ 4 r 2 0 4 0 r 2
R 其中： i 为第i个电荷源到P点的距离。
b.连续分布的电荷源的电位计算
线电荷分布：
1 4π 0

l
R
l
dl
面电荷分布：
1 4π 0

S
R
S
dS
体电荷分布：

1 4π 0


R
V
dV
三、电场强度 E与电位 之间的关系 E dl
E
0
q 4 0 R
4. 泊松方程、拉普拉斯方程（真空）
2
0
2 0
作业：P50 2-11、2-14