转本高数第三章第六节 渐近线和函数作图

y
x 1
2
o
1
x
5
二、函数作图
函数 y f ( x ) 作图的步骤：
第一步 确定 f ( x ) 的定义域,讨论其奇偶性(对称性)、周期性；
第二步 求出 f ( x ) 及其零点和不存在点,由此确定单调区
间和极值点；
第三步 求出 f ( x ) 及其零点和不存在点,由此确定凹凸区
间和拐点；
斜渐近线
y x 1 .
12
x y y
y
(, 2)


2 0 极大值 ４
(2, 1)

1
(1, 0)


0 0 极小值 0
y
(0, )


间断
渐近线： x 1 , y x 1 , 描点：A(2, 4)，B(0, 0)，
1 1 C ( , ) , D( 2, 4 ) , 2 2 3 3 9 E ( , ) , E ( 4, 16 ) , 2 2 3
2( x 2)( x 3) lim 4 x 12 4, lim 2 x x x x 1 x 1
y 2 x 4 是曲线的一条斜渐近线.
4
2( x 2)( x 3) f ( x) 的两条渐近线如图 x 1
y 2x 4
1 O
1
1
x
函数图形：
13
练习：
P148 习题四
14
x 2, x 3.
2
o
3
x
2
3.斜渐近线
如果
lim[ f ( x ) (ax b )] 0 ，
x
那么
y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
斜渐近线求法:
f ( x) lim a , lim[ f ( x ) ax ] b. x x x
( x 1)( x 1) 2
e
.
1
o
1
x
10
( x)
1 2
e
x2 2
( x)
1 2
O
x
11
x2 例4 作函数 y 的图形. 1 x x2 2x , 解 定义域： x 1 , y 2 ( x 1)
y y
x
2 y , 3 ( x 1)
, ( x )
e
.
令 ( x ) 0, 得驻点 x 0,
令 ( x ) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
lim ( x ) lim
x x x2 2
1 2
Hale Waihona Puke e 0, 得水平渐近线 y 0.
9
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
(1, 0)
(, 2)


2
0
(2, 1)

1


0
0 极小值 0
(0, )


y
极大值 ４
间断
x2 , 竖直渐近线 x 1 , 渐近线： lim x 1 1 x x2 x2 x ) 1 , a lim / x 1 , b lim( x 1 x x 1 x
O
E F
x
作出函数的图形.
C
A B
8
例3 作函数 ( x )
1 2
e
x2 2
的图形.
解
D : ( ,),
1 W : 0 ( x ) 0.4. 2
( x 1)( x 1) 2
x2 2
偶函数, 图形关于y轴对称.
( x )
x 2
e
x2 2
那么 y ax b 就是
y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
3
2( x 2)( x 3) 例1 求曲线 f ( x ) 的渐近线. x 1
解
D : ( ,1) (1,).
x 1
lim f ( x ) ，
x 1 是曲线的竖直渐近线 .
2( x 2)( x 3) f ( x) 2, 又 lim lim x x x ( x 1) x
第六节
渐近线和函数作图
一、曲线的渐近线
1.水平渐近线 (平行于x轴的渐近线)
如果
x
lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b (b 为常数)
x
那么 y b 就是 y f ( x ) 的一条水平渐近线.
例如 y arctan x ,
有两条水平渐近线: y , y . 2 2
第四步 讨论渐近线方程；
第五步 讨论一些特殊点(与坐标轴的交点等).
6
4( x 1) 2 的图形. 例2 作函数 f ( x ) 2 x
解
D : x 0, 非奇非偶函数.
4( x 2) ( x ) f , 3 x
列 表
8( x 3) f ( x ) . 4 x
x ( ,3) 3 ( 3,2) 2
f ( x ) f ( x )
f ( x)
(2,0)
0
不存在
(0,)


0
拐点
( 3, 26 ) 9
0

极小值点



间 断 点
3
7
x ( ,3) 3 ( 3,2) 2 0 f ( x )
f ( x )
x ( ,1) 1 (1,0) 0
( x ) ( x )
( x )
(0,1)
1
(1,)

x 2

0
拐点
1 ( 1, ) 2e
0
极大值

1 2
1 2

(1,

0
拐点
1 ) 2e

x2 2
( x )
e
x2 2
,
y
( x )
f ( x)
(2,0)

0
拐点
( 3, 26 ) 9


0
不存在
(0,)
极小值点
3
间 断 点


水平渐近线 y 2 竖直渐近线 x 0
描点: A(3, 26/9)，
F(3, 2/9) . E(2, 1) ，
4( x 1) f ( x) 2 2 x
y D
B(2, 3)， C(1, 2)， D(1, 6)，
2
y
x
2
1
2.竖直渐近线 (垂直于x轴的渐近线)
如果
x x0
lim f ( x ) 或 lim f ( x )
x x0
那么 x x0 就是 y f ( x ) 的一条竖直渐近线 .
1 , 例如 y ( x 2)( x 3)
y
有两条竖直渐近线: