完全平方数(初中数学竞赛教案)

课题：完全平方数

一、本课知识点和能力目标

1．知识点：

个位数的计算或判断，需要掌握由一般到特殊的归纳思想、方法，通过知识的传授培养学生的数学能力。

完全平方数是一种特殊的整数，有其独特的性质，通过学习，学生要学会判断一个数是否完全平方数，并能利用完全平方数的性质解决一些数学问题。

2．能力目标：

本讲采用举例的办法，介绍以帮助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。

二、数学思想：一般到特殊，分类讨论思想。

三、本次授课节次及内容安排

第1课时：个位数的判定。

第2课时：完全平方数

第3课时：典型例题剖析

第4课时：课堂反馈.

四．课外延伸、思维拓展

第一课时

[知识要点]

个位数知识：1.整数之和（差）的个位数等于其个位数之和（差）。

2.整数之积的个位数等于其各个因数的各位数之积。

3.正整数的幂的个位数有一定的规律。

(a)n次幂后，0，1，5，6的个位数保持不变。

(b)个位数为4，9的数，n次幂后的个位数以2为周期变化。

(c) 个位数为2，3，7，8的数，n次幂后的个位数以4为周期变化。

【经典例题】

1999

例求的个位数。

1.1997

答案：3。

533319981998

例试证：（）是的倍数；（）是的倍数。

2.153********

-+

答案：（1）0；（2）3。

100011000210003

例数的个位数字是什么？

g g

3.3713

答案：9

199919964.1997

,a a =例求的个位数字。

答案：1

尝试练习： 338778199819992000200120022003321381.3.(2000~2001)

2.7887_______?()

3..237_______?(1999)

4.200120022003_______?(2001)

5.6(7317)+⨯⨯++⨯-求的個位數字香港青少年數學精英選拔賽的個位數字是第一屆華羅庚杯香港小學精英賽的個位數字是年香港數學奧林匹克的個位數字是年香港數學奧林匹克的個2111_______?

6.310?

÷位數字是的餘數是多少 答案：（1）3； （2）1； （3）8； （4）2； （5）2； （6）7

第二课时

[知识要点]

如果n 是一个整数，则n 2就叫完全平方数。

性质：

（1） 平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9.

（2） 平方数被3除的余数只能是0和1。

（3） 奇数的平方数为4m+1,偶数的平方数是4m.

（4） 平方数的个位数是奇数1，5，9时，十位数字一定是偶数。

（5） 平方数之积是平方数。

（6） 平方数的正约数个数为奇数。

根据平方数的定义和性质，有如下非平方数的判定方法：

（1）两相邻平方数再没有平方数。

（2）个位数是2，3，7，8的正整数不是平方数。

（3）正约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数。

（4）个位数字与十位数字都是奇数的数不是平方数。

（5）若存在质数p|a,而p2†a,则a不是平方数。

【经典例题】

例1.试证：形如3n+2的数不是完全平方数。

证明：整数被3除，余数分别为0，1，2。

易得：被3整除的数的平方数仍被3整除，

被3除余1的数的平方(3k+1)2=9k2+6k+1余数仍为1.

被3除余2的数的平方(3k+2)2=9k2+12k+4余数仍为1

故任何形如3n+2的数都不是完全平方数。

例2.求证：奇数的平方数被8除余1，偶数的平方数一定是4的倍数。

证明：奇数(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1,

n、n+1为连续整数，必有一个偶数.

偶数（2n）2=4n2,为4的倍数。

故得证。

例3.使得（21991

-+）为完全平方数的自然数n的个数是多少？

n n

分析：若n2-19n+91处于两个连续的整数平方数中，就不可能是完全平方数。

个。

）为完全平方数的值有（）为完全平方数。

时，（或经计算：当。

）才能为为完全平方数时，（当）不会为完全平方数。

时，（当解：291199119109911910911910),

10()9(9119222222+-+-=+-≤+->-+-=+-n n n n n n n n n n n n n n n 例4. 一个自然数减去45后是一个平方数，这个自然数加上44，仍

是平方数，试求这个平方数。

2222,x-45=m ,89.44()()89.

89891

m n n m x n

n m n m n m n m ⎧⎪-=⎨+=⎪⎩+-=+=⎧∴⎨-=⎩Q 解：设这个自然数为x 得

其中为自然数。则是质数，

得n=45,m=44.代入得： x=1981.

尝试练习：

1.判断11、111、1111、…、(1)1111...11n +个，…这串数中是否有完全平方数。 答：没有完全平方数。（由性质4可得）

42.22a b A a b B n -=+-+已知的算术平方根，B=的立方根，求A 的次方根。

解：由题意得：⎩

⎨⎧==⎩⎨⎧=-+=--.323923234b a b a b a 得 所以A=2，B=-1。

当为奇数时，A+B 的n 次方根为1。