线性空间与线性变换
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对于通常的有序数组的加法及如下定义的
乘法： x1, x2,..., xn T (0,0，...，0)
不构成线性空间。 Q 虽然S n对运算封闭，但 1 X 0 不满足第五条运算律。由于所定义的不 是线性运算，所以S n不是线性空间。
例7. 正实数的全体，记作R ,在其中定 义加法及数乘运算为
例4. 正弦函数的集合
S [x] {s Asin(x B) A, B R} 对于通常的函数及 数乘函数的乘构成线 性空间。
s1 s2 A1 sin(x B1) A2 sin(x B2 ) (a1 sin x b1 cos x) (a2 sin x b2 cos x) (a1 a2 )sin x (b1 b2 )cos x Asin(x B) S[x]
第七章 线性空间与线性变换
本章主要讨论线性空间及线性变换 的的一些基本概念与基本定理，在此基 础上使大家能利用这些基本概念与定理 解决相关问题。
§7.1 线性空间的定义与性质 §7.2 线性空间的基、维数与坐标 §7.3 基变换与坐标变换 §7.4 线性变换 §7.5 线性变换的矩阵表示
第一节 线性空间的定义与性质
(6) (α) ()α (7) ( )α α α (8) (α β) α β
说明: 1.凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称 为线性运算． 2.向量空间中的向量不一定是有序数组． 3.判别线性空间的方法：一个集合，对于定义 的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八 条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空 间.
s 1 A1 sin(x B1) ( A1)sin(x B1) S [x]
S [x]是一线性空间。
例5. 在区间 [a,b] 上个体实连续函数， 对函数的加法与数和函数的数量乘法， 构成实数域上的线性空间。
例6. n 个有序实数组成的数组的全体
S n X (x1, x2,..., xn )T | x1, x2,..., xn R
通常的多项式加法、数乘多项式的乘 法满足线性运算规律。
(an xn an1xn1 ... a1x a0 ) (bn xn bn1xn1 ... b1x b0 )
(an bn )xn (an1 bn1)xn1 ... (a1 b1)x (a0 b0 )
(an xn an1xn1 ... a1x a0 ) an xn an1xn1 ... a0
P [x]n 对加法和数乘都封闭。
例3. n 次多项式的全体
Q [x]n p an xn an1xn1 ... a1x
a0 | an , an1,..., a1, a0 R,且an 0} 对于通常的多项式加法和乘数运算不构 成向量空间。
Q 0p 0xn 0xn1 ... 0x 0 Q [x]n Q [x]n对多项式的加法与数乘运算不封闭。
a b ab a a (a,b R, R)
验证，R对上述加法及数乘运算构成线 性空间。 证明：a、b R a b ab R
a R， R a a R
对定义的加法与数乘运算封闭。
下面来证明上述两种运算满足八条运算
规律：
(1) a b ab ba b a
Q A mn B mn C mn , A mn D mn
R mn是一个线性空间
例2.次数不超过n的多项式的全体记作 P [x]n，即：
P [x]n p an xn an1xn1 ... a1x
a0 | an, an1,..., a1, a0 R
对于通常的多项式加法、数乘多项式 的乘法构成实数域上的线性空间。
(7) (a b) (a b) (ab) (a) (b) (a) (b) ( a) ( b)
(8) ( ) a a aa a a ( a) ( a)
二、线性空间的性质
1.零元素是唯一的. 证明：假设 01,02是线性空间V中的两个零元素， 则对于α V，有：α 01 α，α 02 α 由于01、02 V 01 02 01、02 01 02 01 01 02 02 01 02 2. 负元素也是唯一的。 证明：设α有两个负元素β与γ，则：
个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作： γ=α+β
若对于任一数λ∈R 与任一元素α，总有 唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α
的积，记作δ=λα 如果上述定义的两种运算满足以下八条
运算规律，那么 V 就称为数域 R 上的向量空 间（或线性空间）．
设 α、β、γ V，λ、μ R (1) α β β α (2) (α β) γ α ( β γ) (3) 0 V，对α V，都有α 0 α (4) α V，β V，都有α β 0 (5) 1α α
(2) (a b) c (ab) c abc a(bc)
Βιβλιοθήκη Baidu
a (bc) a (a b)
(3) R中存在零元素 1 ，对于任意a R
有
a 1 a1 a
(4) a R有a1 R a a1 aa1 1
(5) 1 a a1 a
(6) 、 R，a R， ( a) ( a) (a ) a () a
一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也 是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推 广．
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它 是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实 际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间 来解决实际问题．
定义1.设V 是一个非空集合，R 为实数域．如 果对于任意两个元素α,β∈V，总有唯一的一
线性空间的判定方法: (1)一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通 常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的 封闭性． (2)一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是 通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满 足八条线性运算规律．
例1.实数域上的全体m n矩阵，对于 矩阵的加法和数乘运算构成实数域上 的线性空间，记作R mn.
乘法： x1, x2,..., xn T (0,0，...，0)
不构成线性空间。 Q 虽然S n对运算封闭，但 1 X 0 不满足第五条运算律。由于所定义的不 是线性运算，所以S n不是线性空间。
例7. 正实数的全体，记作R ,在其中定 义加法及数乘运算为
例4. 正弦函数的集合
S [x] {s Asin(x B) A, B R} 对于通常的函数及 数乘函数的乘构成线 性空间。
s1 s2 A1 sin(x B1) A2 sin(x B2 ) (a1 sin x b1 cos x) (a2 sin x b2 cos x) (a1 a2 )sin x (b1 b2 )cos x Asin(x B) S[x]
第七章 线性空间与线性变换
本章主要讨论线性空间及线性变换 的的一些基本概念与基本定理，在此基 础上使大家能利用这些基本概念与定理 解决相关问题。
§7.1 线性空间的定义与性质 §7.2 线性空间的基、维数与坐标 §7.3 基变换与坐标变换 §7.4 线性变换 §7.5 线性变换的矩阵表示
第一节 线性空间的定义与性质
(6) (α) ()α (7) ( )α α α (8) (α β) α β
说明: 1.凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称 为线性运算． 2.向量空间中的向量不一定是有序数组． 3.判别线性空间的方法：一个集合，对于定义 的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八 条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空 间.
s 1 A1 sin(x B1) ( A1)sin(x B1) S [x]
S [x]是一线性空间。
例5. 在区间 [a,b] 上个体实连续函数， 对函数的加法与数和函数的数量乘法， 构成实数域上的线性空间。
例6. n 个有序实数组成的数组的全体
S n X (x1, x2,..., xn )T | x1, x2,..., xn R
通常的多项式加法、数乘多项式的乘 法满足线性运算规律。
(an xn an1xn1 ... a1x a0 ) (bn xn bn1xn1 ... b1x b0 )
(an bn )xn (an1 bn1)xn1 ... (a1 b1)x (a0 b0 )
(an xn an1xn1 ... a1x a0 ) an xn an1xn1 ... a0
P [x]n 对加法和数乘都封闭。
例3. n 次多项式的全体
Q [x]n p an xn an1xn1 ... a1x
a0 | an , an1,..., a1, a0 R,且an 0} 对于通常的多项式加法和乘数运算不构 成向量空间。
Q 0p 0xn 0xn1 ... 0x 0 Q [x]n Q [x]n对多项式的加法与数乘运算不封闭。
a b ab a a (a,b R, R)
验证，R对上述加法及数乘运算构成线 性空间。 证明：a、b R a b ab R
a R， R a a R
对定义的加法与数乘运算封闭。
下面来证明上述两种运算满足八条运算
规律：
(1) a b ab ba b a
Q A mn B mn C mn , A mn D mn
R mn是一个线性空间
例2.次数不超过n的多项式的全体记作 P [x]n，即：
P [x]n p an xn an1xn1 ... a1x
a0 | an, an1,..., a1, a0 R
对于通常的多项式加法、数乘多项式 的乘法构成实数域上的线性空间。
(7) (a b) (a b) (ab) (a) (b) (a) (b) ( a) ( b)
(8) ( ) a a aa a a ( a) ( a)
二、线性空间的性质
1.零元素是唯一的. 证明：假设 01,02是线性空间V中的两个零元素， 则对于α V，有：α 01 α，α 02 α 由于01、02 V 01 02 01、02 01 02 01 01 02 02 01 02 2. 负元素也是唯一的。 证明：设α有两个负元素β与γ，则：
个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作： γ=α+β
若对于任一数λ∈R 与任一元素α，总有 唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α
的积，记作δ=λα 如果上述定义的两种运算满足以下八条
运算规律，那么 V 就称为数域 R 上的向量空 间（或线性空间）．
设 α、β、γ V，λ、μ R (1) α β β α (2) (α β) γ α ( β γ) (3) 0 V，对α V，都有α 0 α (4) α V，β V，都有α β 0 (5) 1α α
(2) (a b) c (ab) c abc a(bc)
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a (bc) a (a b)
(3) R中存在零元素 1 ，对于任意a R
有
a 1 a1 a
(4) a R有a1 R a a1 aa1 1
(5) 1 a a1 a
(6) 、 R，a R， ( a) ( a) (a ) a () a
一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也 是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推 广．
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它 是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实 际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间 来解决实际问题．
定义1.设V 是一个非空集合，R 为实数域．如 果对于任意两个元素α,β∈V，总有唯一的一
线性空间的判定方法: (1)一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通 常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的 封闭性． (2)一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是 通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满 足八条线性运算规律．
例1.实数域上的全体m n矩阵，对于 矩阵的加法和数乘运算构成实数域上 的线性空间，记作R mn.