平面解析几何复习课

平面解析几何初步复习
【答案速填】 ①斜截式 ②截距式 ③重合 ④标准方程 ⑤一般方程 ⑥相切 ⑦相离 ⑧外切 ⑨相交
【核心解读】 1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°.
tan, 90, (2) k 不存在， 90.
(3)斜率的求法:①依据直线方程;②依据倾斜角;③依据两点的 坐标.
(2)因为l1∥l2且l2的斜率为1-a.所以l1的斜率存在,即
因为原点到l1和l2的距离相等, 所以 4|
a 1 a 2 || |, 解得a=2或 . a 1 a 3
2 a 2， a ， 因此或 ，或 3 b 2 b 2.
主题三 圆及直线与圆的位置关系
【补偿训练】(2014·福建高一检测)已知圆x2+y2-2ax-6ay+ 10a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线L:y=x+m. (1)若a=2,求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值. (2)若m=2,求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值. (3)若直线L是圆心C下方的切线,当a变化时,求实数m的取值范 围.
2.直线方程的几种形式 (1)斜截式:y=kx+b. (2)点斜式:y-y0=k(x-x0). (3)两点式: y y1 x x1 (y1≠y2,x1≠x2).
y 2 y1
b
x 2 x1
(4)截距式: x y 1.
a
(5)一般式:Ax+By+C=0(A2+B2≠0).
3.两条直线的位置关系 设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0则 (1)平行⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0或A2C1-A1C2≠0; (2)相交⇔A1B2-A2B1≠0或
与l2:A2x+B2y+C2=0相互垂直时有A1A2+B1B2=0.
A1 B1 C1 (3)两直线重合⇔ A B C . 2 2 2
【补偿训练】(2014·大连高一检测)已知两直线l1:ax-by+ 4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,分别求满足下列条件的a,b的值. (1)直线l1过点(-3,-1),且l1⊥l2. (2)直线l1与l2平行,且坐标原点到l1,l2的距离相等.
【解析】圆C的方程可化为 (x-a)2+(y-3a)2=4a, 所以圆心C(a,3a),半径r=2 a , (1)若a=2,则C(2,6),r=2 2 , 因为弦AB过圆心时最长, 所以|AB|max=4 2 .
(2)若m=2,则圆心C(a,3a)到直线x-y+2=0的距离
d 2a 2 2 2 a 1 ，r 2 a ,
6.对称问题 (1)点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主 要依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b. (2)直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l′的 问题,主要依据l′上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称点 T′(2m-x,2n-y)必在l上.
(3)点关于直线的对称:求已知点A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b 的对称点A′(x0,y0)的坐标的一般方法是依据l是线段AA′的垂 直平分线,列出关于x0,y0的方程组,由“垂直”得一方程,由 “平分”得一方程,
y0 n k 1， 即 x0 m y0 n k x 0 m b. 2 2
【自主解答】(1)由已知知直线l的斜率存在且不为0,设为k,则 直线l的方程为:y-2=k(x-3),
当x=0时,y=2-3k,当y=0时,x=3所以2-3k=3- 2 ,即3k2+k-2=0,
k
2 , k
解得:k=-1或k=
2 , 3
所以所求直线l的方程为
y-2=-(x-3)或y-2= 2 (x-3),
2 1 =-1,解得k=- 1 . 0 1 3
所以点M到直线的最大距离为 10 +1,此时直线方程为y=- 1 x-2.
3
【方法技巧】直线与圆位置关系的判断方法盘点 (1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断 . (3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系 判断,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
3
即x+y-5=0或2x-3y=0.
(2)设直线l的方程为x+5y+m=0(m≠-1),则直线l与两坐标轴的 交点是(-m,0),(0, m ) ,所以有 1 m | m | 20， 解得m=±10 2 ,
5 2 5
故直线l的方程为x+5y+10
2 =0或x+5y-10
2 =0.
【延伸探究】将(2)中的“平行”改为“垂直”,其他条件不变, 求直线l的方程.
【典例3】(2013·湛江高一检测)已知圆C:x2+y2-2x-2y+1=0,
直线l经过点P(0,-2).
(1)当直线l与圆相切时,求此时直线l的方程.
(2)已知点M在圆C上运动,求点M到直线l的距离的最大值,并求
此时直线l的方程.
【自主解答】(1)圆的方程可整理成(x-1)2+(y-1)2=1,所以圆 心为C(1,1),半径r=1. 当直线垂直于x轴时,直线与圆相切,符合题意,此时直线方程为 x=0. 当直线的斜率存在时,设直线方程为y=kx-2,因为直线与圆相切, 所以
直线与圆相交,所以d<r,所以a2-4a+1<0且0<a≤4, 所以 a 2 3, 2 3 , 又 AB 2 r 2 d 2 2 2a 2 8a 2 2 2 a 2 2 6, 所以当a=2时,|AB|max= 2 6，


(3)圆心C(a,3a)到直线x-y+m=0的距离 d
(4)直线关于直线的对称:求直线l关于直线g的对称直线l′,主
要依据l′上任一点M关于直线g的对称点必在l上.
7.圆的方程 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2. (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 8.点和圆的位置关系 设点P(x0,y0)及圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2,则 (1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点P在圆外. (2)(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点P在圆内. (3)(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点P在圆上.
【补偿训练】(2013·南充高二检测)直线x=1的倾斜角和斜率 分别是 ( ) B.135°,-1 D.180°,不存在
A.45°,1 C.90°,不存在
【解析】选C.由于直线x=1与x轴垂直,故其倾斜角为90°,斜率 不存在.
主题二
直线方程及两直线的位置关系
【典例2】(1)直线l经过点(3,2),且在两坐标轴上的截距相等, 求直线l的方程. (2)已知直线l与直线x+5y-1=0平行,且与两坐标轴围成的图形 面积是20,求直线l的方程.
【解析】(1)因为l1⊥l2,所以a(a-1)+(-b)·1=0, 即a2-a-b=0. ①
又点(-3,-1)在l1上,所以-3a+b+4=0②,由①②解得a=2,b=2.
a =1-a, b a b . 故l1和l2的方程可分别表示为l1:(a-1)x+y+ 4 a 1 =0, 1 a a a l2:(a-1)x+y+ =0. 1 a
结合图形知,若直线l与线段AB恒有交点,则直线l的斜率的取值
范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
【方法技巧】求直线斜率的一般方法
(1)已知直线上两点,根据斜率公式 k
y2 y1 (x1≠x2)求斜率. x 2 x1
(2)直线的倾斜角为90°,则直线的斜率不存在. (3)已知倾斜角α或α的三角函数值,根据k=tanα来求斜率. (4)利用两直线的平行或垂直关系求解 :若两直线平行,则斜率 相等(指斜率存在的情况),若两直线垂直,则斜率互为负倒数 (指斜率存在且不为0的情况).
13.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半 及半径构成直角三角形计算. (2)代数方法:运用根与系数关系及弦长公式
AB ＝ 1＋k 2 | x A－x B | ＝ (1＋k 2［ ) (x A＋x B ) 2－4x A x B］ .
注:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.
k 2 1
2
k 1 4 解得k= 4 ,直线方程为y= x-2. 3 3 所以切线方程为x=0或y= 4 x-2. 3
1，
(2)连接CP,可知,当直线l⊥线段CP时,圆心C到直线的距离即为 CP的长. 当直线l不垂直线段CP时,圆心到直线的距离d<|CP|, 所以动点M到直线的最大距离为 CP r 1 0 2 1 2 2 1 10 1, 此时直线的斜率k满足k·kCP=k·
9.直线与圆的位置关系 设直线l与圆C的圆心之间的距离为d,圆的半径为r,则 (1)l与圆C相离⇔d>r. (2)l与圆C相切⇔d=r. (3)l与圆C相交⇔d<r.
10.圆与圆的位置关系 设圆C1与圆C2的圆心距离为d,半径分别为R与r,且R>r,则两圆 (1)相离⇔d>R+r. (2)外切⇔d=R+r.
2.直线位置关系的判断 设两条直线的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0,
l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2,C2≠0),则
A1 B1 C1 . (1)两直线平行⇔ A 2 B2 C2 A1 B1 ; 特别地,当两直线l1:A1x+B1y+C1=0 (2)两直线相交⇔ A 2 B2
【解析】由题意设直线l的方程为5x-y+m=0,则直线l与两坐标轴
的交点是(0,m), ( m ,0) ,
5 1 m 所以有 m | | 20， 解得m=±10 2 , 2 5
故直线l的方程为
5x-y+10 2 =0或5x-y-10 2 =0.
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【方法技巧】 1.直线方程的五种形式及适用条件 直线方程共有五种形式,其中一般式方程可以表示所有的直线 . 点斜式和斜截式方程不能表示斜率不存在的直线.两点式方程 不能表示与坐标轴垂直的直线.截距式方程不能表示与坐标轴 垂直及过原点的直线.
A1 B1 A 2 B2
(A2B2≠0);
A2 B2 C2
(3)重合⇔A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)或 A1 B1 C1 (A2B2C2≠0).
4.距离公式
(1)两点间的距离公式:已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则 P1P2 x 2 x1 2 y 2 y1 2 .
(2)点到直线的距离公式:
①点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 d
Ax 0 By 0 C A B
2 2
; .
②两平行直线l1:Ax+By+C=0与l2:Ax+By+D=0的距离 d
CD A B
2 2
5.平行直线系和垂直直线系 (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为Ax+By+m=0(m≠C). (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为Bx-Ay+n=0.
主题一 直线的倾斜角与斜率 【典例1】已知点A(2,3),B(-5,2),若直线l:y=k(x+1)+6与线段 AB恒有交点,求该直线斜率的取值范围.
【自主解答】直线l:y=k(x+1)+6恒过定点P(-1,6),如图所示,
k PA
63 62 1;k PB 1. 1 2 1 5
(3)相交⇔R-r<d<R+r.
(4)内切⇔d=R-r.
(5)内含⇔0≤d<R-r.
11.求圆的方程时常用的四个几何性质
12.与圆有关的最值问题的常见类型 (1)形如μ= y－b 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最
x－a
值问题. (2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值 问题. (3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点 的距离的平方的最值问题.