可降阶的二阶微分方程

两边再积分得
x
F0 m
(
t2 2

t3 6T
)

C2
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
x F0 ( t 2 t 3 ). 2m 3T
二、y f ( x, y) 型的微分方程
特点： 不显含未知函数 y . 解法： 令 y p( x) , 则 y p . 代入原方程, 化为关于变量 x , P 的一阶微分方程
p C1 y, 即
故原方程通解为 y C2ec1x .
例 1 求方程 yy y2 0 的通解.
解2
两端同乘
1 y2
,
yy y2
y2

d( dx
y) y

0,
故 y C1 y, 从而通解为 y C2eC1x .
解3
原方程变为
y y

y y
,
两边积分,得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，
p f ( x, p). 关于 p(x) 的一阶方程 设其通解为 p ( x,C1), 即 y ( x,C1) ,
再次积分, 得原方程的通解 y ( x,C1)dx C2.
例 1 求方程 xy y 0 的通解.
解 设 y p( x), 则 y p( x) , 代入原方程,得 xp p 0,（p 0）
解法 y f ( x)dx C1, y ( f ( x)dx)dx C1x C2.
例 1 求方程 y xe x cos x 的通解.
解 y ( xe x cos x)dx xex ex sin x C1, y ( xe x e x sin x C1)dx
分离变量后积分, 得原方程的通解
例 1 求方程 yy y2 0 的通解.
解 设 y p( y), 则 y p dp ,
dy
代入原方程得 y p dp p2 0, dy
即 p( y dp p) 0, dy
由 y dp p 0，可得 dy
解线性方程, 得 p C1x, 即 y C1x,
两端积分,得原方程通解为
y

1 2
C1
x2

C2,
百度文库
即 y C1x2 C2.
例2 求方程 x2 y xy 1的通解.
解 设 y p( x), 则 y p( x),
代入原方程, 得 解线性方程, 得
x2 p p
第五节 可降阶的二阶微分方程
一、 y f ( x) 型的微分方程 二、 y f ( x, y)型的微分方程 三、y f ( y, y) 型的微分方程
四、可降阶二阶微分方程的应用举例
一、y f ( x) 型的微分方程
特点 右端仅含有自变量 x , 只要积分 二次即得通解 .
xex 3ex C1x2 C2 x C3 .
例3 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线
运动 , 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) .在开始时
刻t = 0 时F(0) = F0 , 随着时间的增大 , 此力 F 均匀 地减小 , 直到 t = T 时 F(T) = 0 .若开始时质点在原点 ,
原方程通解为
y

C
eC1
2
x
.
例 2 求方程 yy y2 0 的通解.
解 设 y p( y), 则 y p dp ,
dy
代入原方程得
y
p dp dy
p2

0,
即
p( y dp dy
p)
0,
由 y dp p 0，可得 dy
yp C1,
xp 1 , 即
1 x
(ln
x

C1
),
p

1 x
p

1 x2
,
即
y

1 (ln x
x

C1 ),
两端积分,得原方程通解为
y

1 2
ln2
x

C1
ln
x

C2
,
例3
求方程
(1 x2 ) y xy 0

y(0)

0
,
y(0)

1
的解.
解 设 y p( x), 则 y p( x),
故所求原方程的解为: y arcsin x .
三、y f ( y, y) 型的微分方程
特点： 右端不显含自变量 x.
解法：设 y p( y),
则
y

dp dx

dp dy

dy dx

p dp , dy
代入原方程, 化为关于 p(y) 的一阶微分方程
设其通解为 p ( y,C1), 即
xex 2e x cos x C1x C2.
逐次积分的解法可用于解高阶微分方程 y(n) f ( x) .
y(n1) f ( x)dx C1, y(n2) ( f ( x)dx C1) dx
( f ( x)dx)dx C1x C2,
代入原方程,得 (1 x2 ) p xp 解线性方程, 得 P C1
1 x2

0
,
即
p

1
x x2
即 y C1
1 x2
p

0
,
由 y(0) 1 ,
得 C1 1 ,
y
1 1 x2
两端积分 , 得原方程通解为 y arcsin x C2 ,
由 y(0) 0 , 得 C2 0 ,
积分 n 次即得含 n 个独立任意常数的通解 .
例2 求方程 y xex 的通解.
解 y xex dx xex ex C1, y ( xex ex C1 )dx xex 2ex C1x C2,
y ( xex 2ex C1x C2 )dx
且初速度为0 , 求质点的运动规律. 解 据题意有
F0 (1 t ) mT
F0
F
F

F0 (1
t T
)
o Tt
对方程两边积分, 得
dx dt

F0 m
(t

t2 2T
)

C1
dx dt

F0 m
(t

t2 2T
)

C1
利用初始条件
得C1 0, 于是
dx F0 ( t t 2 ) d t m 2T