椭圆难题(包括答案)-精选.

关于焦点三角形与焦点弦

关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法

典例剖析

1 求椭圆的标准方程

【例2】设椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF 的垂线

分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85

AP PQ =u u u r u u u r

（1）求椭圆的离心率。

（2）若过,,A F Q

三点的圆恰好与直线30x ++=相切，求椭圆的方程。

【例4】已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为右准线交x 轴于点A ，右焦点为F ，

且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点 （1）求椭圆的方程

（2）若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r

，求直线l 的方程 （4）求OPQ V 的最大面积

2 椭圆的性质

【例6】已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭

圆上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=u u u r u u u r

（1）求椭圆离心率e 的取值范围

（2）当离心率e 取最小值时，12PF F V 的面积为16，设,A B 是椭圆上两动点，

若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,Q 。①求椭圆的方程；②求直线AB 的斜率k 的取值范围。

求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况： （1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足0a x a -≤≤；（3）0∆>；

（4）椭圆内部的点()00,x y 满足22

00221x y a b

+<；

【例7】椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，斜率为1的直线过椭圆的右焦点2F 与椭圆

交于,A B 两点，OA OB +u u u r u u u r 与向量()3,1a =-r

共线。

（1）求椭圆的离心率e

（2）设M 为椭圆上任一点，若(),OM OA OB R λμλμ=+∈u u u u r u u u r u u u r

，求证：22λμ+为

定值

【例8】已知A 为椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>上一动点，弦,AB AC 分别过焦点12,F F ，

当AC x ⊥轴时，恰有123AF AF =.

（1）椭圆的离心率 （2）设111AF F B λ=u u u r u u u r ，222AF F C λ=u u u u r u u u u r

，判断12λλ+是否为定值？

3. 最值问题

【例11】已知椭圆

22

:1

43

x y

C+=，AB是垂直于x轴的弦，直线4

x=交x轴于点N，F

为椭圆C的右焦点，直线AF与BN交于点M （1）证明：点M在椭圆C上

（2）求AMN

V面积的最大值

【例14】已知椭圆22

:143

x y C +=的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆交于

,A B 两点

（1）求2AF B V 的面积的最大值

（2）当2AF B V 的面积最大值时，求12tan F AF ∠的值

4 直线与椭圆的位置关系

【例16】已知12,F F 是椭圆2

2:14

x C y +=的左，右焦点，直线l 与椭圆相切。

（1）分别过12,F F 作切线l 的垂线，垂足分别为M N ，，求12FM F N ⋅的值 （3）设直线l 与x 轴，y 轴分别交于两点,A B ，求AB 的最小值。

【例17】已知椭圆

22

:1

94

x y

C+=，过点()

03

P，作直线l与椭圆顺次交于,A B两点（A在

,P B之间）。（1）求PA

PB

的取值范围；（2）是否存在这样的直线l，使得以弦AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求l的方程，若不存在，说明理由。

【例19】（2010江苏）已知椭圆22

:195

x y C +=的左，

右焦点为12,F F ，左，右顶点为,A B ，过点()T t m ，的直线,TA TB 分别交椭圆于点()()()112212,0,0M x y N x y y y ><，，

（1）设动点P ，满足22

24PF PB -=，求点P 的轨迹方程

（2）当1x =2，21

3x =时，求T 点的坐标

（3）设9t =，求证：直线MN 过x 轴上的定点

三解题小结

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