结晶学第十一讲—空间群(3)

8
c
1 x,y,z; x,y,z; ½+x,½-y,½+z; ½-x,½+y,½+z; y,x,z; y,x,z; ½+y,½+x,½+z; ½-y,½-x,½-z.
4 2
b a
2 0,½,z; ½,0,z; 0,½,½+z; ½,0,½+z. 4 0,0,z; ½, ½, ½+z.
Orthorhombic mmm
8 1
(右)对称元素分布

x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z. a mmm 0,0,0.
1
Pban (D2h, No. 50)
+ + -, +, + + + +
4
P 2/b 2/a 2/n
,+ ,+ -
+
Origin at 222, at ¼, ¼, 0 from 1
63
+ 1/2+ +
2/3+
1/3+
+ 1/2+
2/3+
6
六次旋转轴
62
61
61 62 63 六次螺旋轴 64 65
无 c/6 2c/6 3c/6 4c/6 5c/6 无
6
六次反演轴
滑移面：滑移面是由非真旋转2(m)与非初基平移结合而成
的新对称操作，同样可由赛兹算符{RI}r=Rr+描述。晶体中有三
四次反演轴
六次旋转轴
三次旋转轴 三次螺旋轴 三次反演轴
c/3
2c/3 无
61 62 63 六次螺旋轴 64 65
3
6
六次反演轴
对称面符号
符号 对称面
图示符号
垂直于投影面 平行于投影面
滑移特征
没有(如果平面在z=1/4的 高度，就在符号边标注 1/4) 沿[100]滑移a/2，或沿[010] 滑移b/2，或沿<100>滑移
+ +
1/2+ 1/2+
+
3/4+
+
3/4+
1/2+
1/4+
4
41
42
43
六次螺旋轴
+ + + + + 1/2+ 2/3+ + 1/3+ 1/3+ 1/6+ + 2/3+ 5/6+ 1/3+ + 1/2+ + +
65
64
1/3+
2/3+ 1/2+ 1/3+ 5/6+ +
2/3+ +
1/6+
6
6 (C6, L6)
8 2
m
x,y,z; x,y,z; 1/2-x,1/2-y,z; 1/2+x,1/2+y,z; x,y,z; x,y,z; 1/2-x,1/2+y,z; 1/2+x,1/2-y,z. a 222 0,0,0; ½, ½, 0.
1
对称轴符号
符 号 对称轴
一次旋转轴 一个反演轴 二次旋转轴
平行于纸面
图示 符号
4 4 4
c b a
m 1 1
P 21/n 21/m 21/a
a b c
¼
¼
¼
¼
_
,
+
21/a
_ _
¼
¼
,
+
+
, , ½+ ½+ ,+
_
Origin at 1
½+
,½_ ½_ ,
+
,½_ ,
+
21/m
_
_
+
,
¼
21/n
_
,
+ +
_
_
,
+
, , ½+
½+
¼
¼
¼
½+
, ½_
½
_
, ½_
p a
x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z. 42 0,0,0.
1
P3m1 (C3v, No. 156)
+
1
wk.baidu.com
P31m (C3v, No. 157)
,
+ +
2
,
+ + + + + +
+
,
+ + + + + + + + +
+ + + +
种不同的滑移面：轴滑移、对角n滑移、金刚石滑移。
轴向滑移：平移矢量平行于反映面，大小是单胞
轴长的一半。有a滑移、b滑移、c滑移；n滑移。
+
b
， +
a/2
+
+
b
+
b
b/2
_ ，
a/2
+
b/2
a/2
a/2
+
， +
b/2
b/2
a
a
a
n滑移 如 Pban
左(中，右)图：沿b
(a, c) 滑移面的a (b, n)轴滑移
只用一个符号 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴
2或2沿a 2或2沿b 2或2沿a和b 2或2沿a、b和a+b 2或2沿a、b和a+b 2或2沿c
4或4沿c
3或3沿c 6或6沿c
4、4、2或2 沿<100>
2或2沿a±b
2或2a、b和a+b 2或2a、b和a+b 2或2沿<110>
3或3沿<111>
空间群(II)：非点式对称操作
r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc
点对称操作：r’ = Rr
空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符) 对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移，而对于
点式操作t = = 0
۞ 螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43； 61、62、63、64、65 ۞ 滑移面：a、b、c；n；d
无
沿轴向的 右手螺旋 平移特征 无 无 无
符 号
对称轴
四次旋转轴
图示 符号
沿轴向的 右手螺旋 平移特征 无
1 1
4
2
21 3 31 32
41 42 四次螺旋轴 43
c/4
2c/4 3c/4 无 无 c/6 2c/6 3c/6 4c/6 5c/6 无
二次螺旋轴
平行于纸面
c/2 a/2或b/2 无
4 6
3 (C3, L3)
+
+
+
3
1/3+
+
2/3+
31 32
3 31 32 3
三次旋转轴
无
c/3 2c/3
2/3+
三次螺旋轴
三次反演轴
无
1/3+
+ +
四次螺旋轴 41 42 43
4 (C4, L4) 4
四次旋转轴 无
41 42 四次螺旋轴 43
c/4
2c/4 3c/4 无
4
+ + + +
四次反演轴
1/4+ 1/2+
P61 (C6, No. 169)
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+
2
P6 (C1, No. 168) 6
61
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ 1/2+ 2/3+ 1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 6
+
5/6+
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+ 2/3+ 1/2+
1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 61
2/3+
P65 (C6, No. 170) P62 (C6, No. 171) P64 (C6, No. 172) P63 (C6, No. 173)
6
5 4
3
1/2+ 1/3+
5/6+ + 1/6+ 2/3+ 1/3+ +
+ 1/3+
2/3+ 1/3+ 2/3+ +
+ 2/3+
1/3+ +
1/2+ + 1/2+
1/2+
+
Pmmm (D2h, No. 47)
P 2/m 2/m 2/m
x
1
y
+ , - -, + + , - - ,+
+ ,- -, + + , - - ,+
+ , - -, + + , - - ,+
+ , - -, + + , - - ,+
俯视图(单胞)： (左)一般等效点位置
(a或b轴)
(c轴)
m a, b
反映面 (镜面)
轴滑移面
c n d
对角滑移面 (网)
无
沿z轴滑移c/2，或在菱形轴 中沿[111]滑移(a+b+c)/2 (a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2, 或 (a+b+c)/2(四方和立方) (a±b)/4, (b±c)/4, (a±c)/4, 或(a±b±c)/4(四方和立方)
Co-ordinates of equivalent positions
8
d
1
x,y,z; ½+x,½-y,½-z; x,½+y,z; ½-x,y,½+z; x,y,z; ½-x,½+y,½+z; x,½-y,z; ½+x,y,½-z. x,¼,z; x,¾,z; ½-x,¾,½+z; ½+x,¼,½-z. 0,0,½; 0,½,½; ½,0,0; ½,½,0. 0,0,0; 0,½,0; ½,0,½; ½,½,½.
三方
3或3沿c 6或6沿c
2或2沿a、b和a+b 2或2沿a、b和a+b
2或2a、b和a+b 2或2a、b和a+b
六方
62m
63L23P) (Li
y
y
x
x
6m2 (Li63P3L2)
P62m (D3h, No. 189)
3
+ + + +
_ _ _ _
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
螺旋操作：螺旋操作是一种对称操作，它是由真旋转
与平行于旋转轴的非初基平移结合而成的。{RI}r=Rr +
二次螺旋轴 21
2 (C2, L2)
+
+
+
_ + _ + _
2 21
二次旋转轴
平行于纸面
无
+ +
2 21
二次螺旋轴
平行于纸面
c/2
a/2或b/2
1/2+
+
a/2或b/2
三次螺旋轴 31 32
“金刚石” 滑移面
1、非点式空间群举例分析
2、空间群国际表举例分析
3、二维空间群(全部)
P4nc
C4v
6
No.
+ +
104
+ + + +
P4nc
+ +
4mm Tetragonal
½+ , , ½+ ½+ , , ½+
+ + Number of positions, Wyckoff notation, and point symmetry
第十一讲 空间群(3)：非点式空间群
1、非点式空间群举例分析
2、空间群国际表举例分析
3、二维空间群(全部)
第九讲
空间群(I)：点式空间群
晶体的宏观外形可视作一个连续整体的有限图形，而晶体 微观结构是不连续排列的原子在三维空间的无限展开。晶体 宏观对称性是晶体结构(原子排列对称性)即微观对称的反映。 点群中对称要素必须交于一点，只有方向的概念。微观对 称性中对称要素无须交于一点，要引入平移和位置的概念。
_
P 21/n 21/m 21/a ,
+
No.
62 ¼
,
+ +
_
_
¼
, , ½+ ½+
_ _
P nma 16 ¼ D2h
½+
_
, ½_ ½_ ,
+ +
, ½_ ,
+
,
¼
¼
Number of positions, Wyckoff notation, and point symmetry
Origin at 1
1
x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z;
y,x-y,z; y,x-y,z; x,y-x,z; x,y-x,z;
y-x,x,z; y-x,x,z; x-y,y,z; x-y,y,z.
x
, ,
Origin at 62m
, ,
y
y x
1 1
b a
6m2 0,0,½. 6m2 0,0,0.
第十讲
空间群点群相同的位置对称性
Pmmm (D2h, No. 47)
P 2/m 2/m 2/m
x
1
y
+ , - -, + + , - - ,+
+ ,- -, + + , - - ,+
+ , - -, + + , - - ,+
+ , - -, + + , - - ,+
俯视图(单胞)： (左)一般等效点位置
8 1
(右)对称元素分布

x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z. a mmm 0,0,0.
1
P422 (D4)
1
_
+ _ +
+_ _+
_
+ _
+
+_ _+
c
a
b
_ + _ +
y
+_ _+
_ + _ +
+_ _+
螺旋轴,21
x
8 1
+ +
+ +
+ +
Origin on 4
Co-ordinates of equivalent positions
Conditions limiting possible reflections
General: hkl: No conditions 0kl: k + l = 2n hkl: l = 2n Special: hkl: h + k = 2n; l = 2n hkl: h + k + l = 2n
_ _
_
,
+
+
,
+
¼
¼
,
Number of positions, Wyckoff notation, and point symmetry
Co-ordinates of equivalent positions
8
d
1
x,y,z; ½+x,½-y,½-z; x,½+y,z; ½-x,y,½+z; x,y,z; ½-x,½+y,½+z; x,½-y,z; ½+x,y,½-z. x,¼,z; x,¾,z; ½-x,¾,½+z; ½+x,¼,½-z. 0,0,½; 0,½,½; ½,0,0; ½,½,0. 0,0,0; 0,½,0; ½,0,½; ½,½,½.
空间群： 结晶学空间群 就是能使三维周期物体(无
限大晶体)自身重复的 所有 几何对称操作 的 集合 ，
它构成数学意义上的群。
点式空间群：由全部作用于同一个公共点
上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称 操作和平移对称操作组合而产生。
۞ 螺旋轴或滑移面不是其基本对称元素。
۞ 点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与
,
+
+ + + +
,
, ,
+ + + + +
,
+
+
x
+ + + +
,
+
+ + + +
,
, ,
+ + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + + + +
+ +
+ +
+ +
+ +
y
点群各符号的顺序
晶系
三斜 单斜 正交 四方 三方 六方 立方
在 国 际 符 号 中 的 位 置 1 2 3