一维无限深势阱ppt课件
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§ 3.1 一维无限深势阱
一、一维无限深势阱和方势阱
一维问题的实际背景是平面型固体器件例如“超晶 格”， 以及从高维问题约化下来的一维问题。 一维无限深势阱的势能函数是：
{ U(x)=
0 |x|＜a; +∞ |x|≥a .
在势阱外，必有：
(x) o |x|>a
1
在势阱内，满足方程:
d 2
dx2
2E
n个节点。
四.几率分布:
在经典力学中,在ξ到ξ+dξ之间的区域内找到质点的 11
几率ω (ξ) dξ与质点在此区域内逗留的时间dt成
比例:
( )d dt
T
T是振动周期。因此有
( )
T
1
d
dt
1 vt
即几率密度与质点的速度成反比。对于经典的线性谐振子，ξ= a sin(ωt+δ ) ,在ξ点的速度为
2
(x)
0
显然E必须>0，所以记
(a x a)
2E
k
那么方程变成： d 2
dx 2
k 2 (x)
0.
它的一般解是：
(x) Acos kx Bsin kx.
(a x a)
2
这三段的解必须在 x=±a 处衔接起来。在势能有无限
大跳跃的地方，衔接条件只有 本身的连续性。所以
现在
Acos ka Bsin ka 0, Acos ka Bsin ka 0,
v
d
dt
a
cos(t
)
a
Βιβλιοθήκη Baidu
(1
a
2 2
)
1 2
所以几率密度与 (1 2
/
a
2
)
1 2
成比例。
12
一、方势垒
§3.3势垒贯穿 U(x)
1.方势垒是： U0
0, x 0 or x a U (x) U0 0 0 x a
其特点是：
0a x
(1)对于势阱，波函数在无穷远处趋于零，能谱是分立的。但
头五个Hermitian多项式是:
H 2 4 2 2, H3 8 3 12 , H 4 16 4 48 2 12,
H5 32 5 160 3 120.
三. 线性谐振子的能级和波函数 1.我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是：
En
n
1 , n
2
0,1,2,3,
(3.2 8)
无穷级数，那么在x→±∞的时候H(ξ)就→ eξ² ,仍然使ψ(ξ)发散。
能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止” 或“退化”为多项式，而这就要求只能取一些特殊的值。 设要求H(ξ)是ξ的n次多项式，那么就必须让
λ=2n+1 n=0,1,2,3…
这样，我们首先得到了能量本征值：
En
n
1 , n
2
0,1,2,3...
(3.2 5)
现在H(ξ)的方程成为：
9
d 2Hn
d 2
2
dH n
d
2nH n
0.
(3.2 6)
而不难验证下面的函数正满足这个方程:
H n ( ) (1) n e 2
dn
d n
e 2 .
(3.2 7)
它称为n次Hermitian多项式。
H0 1, H1 2 ,
因而，
(at x a) (at x a)
Acos ka 0,
B sin
ka
0.
有两种情形的解：
（1） B 0, coska 0, 所以，
3
(n 1 )
k 2 , a
(n 0,1,2, )
E
2 2 2a 2
n
12
2
,
(
x)
A cos
n
12
x
a
.
(偶宇称)
(2) A 0,sin ka 0 所以，
对于势垒，波函数在无穷远处不为零。下面将看到，粒子能量
可取任意值。
1
An
, a
（与n无关）
最后，波函数是：
1 n
n(x)
sin ( x a). a 2a
5
§ 3.2线性谐振子
一维量子谐振子问题
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它 是物体在势（或势场）的稳定平衡位置附近作小振动这类常见 问题的普遍概括。在量子力学中，情况很类似。一维量子谐振 子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观 粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概 括，而且更是将来场量子化的基础。
(3.2 3)
当ξ→±∞时，方程变为：
d 2 d 2
2 .
我们发现它有近似解：
12
() ~ e 2 .
但是 e 2 /2 应该舍去。
所以再进行变换：
12
() e 2 H(8),
可得关于H(ξ)的如下方程：
d 2 H 2 dH ( 1)H 0. (3.2 4)
d 2
d
二. Hermitian多项式 可以用级数法求解H(ξ)的方程，结果发现：只要H(ξ)是“真”
n
k , a
(n 1,2,3, )
E
2 2 2a 2
n2,
( x) B sin nx .
a
（奇宇称）
4
二者合起来可写为：
n
kn 2a ,
(n 1,2,3, )
En
2 2 8a 2
n2,
n n (x) An sin 2a (x a).
波函数的归一化是：
所以，
a | (x) |2dx 1 a
10
对应的波函数是：
1 2
1 2x2
n (x) Nn H n ( ) e 2 Nn H n (x) e 2 .(
)
(3.2 9)
Nn是归一化常数，利用特殊积分
ex2 dx ,
可得
Nn
2n
n
. !
2.讨论 (1) 能级是等间隔的 ；(2)零点能是
E0
1
2
；(3)能级
的宇称偶奇相间，基态是偶宇称,即ψn(-x)=(-1)ψnn(x) (4)ψn(x)有
线性谐振子的势能函数是：
U (x) 1 2 x 2
2
(3.2 1)
其中ω是谐振子的固有圆频率。所以薛定谔方程是：
d 2
dx 2
2E
2
2 2
2
x2
0.
(3.2 2)
在方程中做如下的无量纲化变换：
7
x x,
则方程变成：
d 2 ( 2 ) ( ) 0. d 2
, 2E
众所周知，当粒子在势场的平衡位置附近作小振动时，势 场V(x) 总可作泰勒展开并只取到最低阶不为零的项。设平衡位
置x0=0，并选取能量尺度的原点使V（0）=0，则
V (x)
1 2
V
(0)
x
2
这里，含V ′(0) 的一次项由于平衡位置V ′(0)=0而消失，6
也由于是稳定振动而有V′ (0)＞0。除非振动的幅度较大，否则 不必考虑展开式中非简谐的高阶项。这类问题的物理例子比如， 原子核内核子（质子或中子）的简谐振动、原子和分子的简谐 振动、固体晶格上原子的简谐振动、甚至一个多自由度系统在 其平衡态附近的小涨落小振动，在通过引入简正坐标后也可以 化为一系列退耦的一维振子之和，即可近似为线性谐振动的迭 加。 一. 方程的化简
一、一维无限深势阱和方势阱
一维问题的实际背景是平面型固体器件例如“超晶 格”， 以及从高维问题约化下来的一维问题。 一维无限深势阱的势能函数是：
{ U(x)=
0 |x|＜a; +∞ |x|≥a .
在势阱外，必有：
(x) o |x|>a
1
在势阱内，满足方程:
d 2
dx2
2E
n个节点。
四.几率分布:
在经典力学中,在ξ到ξ+dξ之间的区域内找到质点的 11
几率ω (ξ) dξ与质点在此区域内逗留的时间dt成
比例:
( )d dt
T
T是振动周期。因此有
( )
T
1
d
dt
1 vt
即几率密度与质点的速度成反比。对于经典的线性谐振子，ξ= a sin(ωt+δ ) ,在ξ点的速度为
2
(x)
0
显然E必须>0，所以记
(a x a)
2E
k
那么方程变成： d 2
dx 2
k 2 (x)
0.
它的一般解是：
(x) Acos kx Bsin kx.
(a x a)
2
这三段的解必须在 x=±a 处衔接起来。在势能有无限
大跳跃的地方，衔接条件只有 本身的连续性。所以
现在
Acos ka Bsin ka 0, Acos ka Bsin ka 0,
v
d
dt
a
cos(t
)
a
Βιβλιοθήκη Baidu
(1
a
2 2
)
1 2
所以几率密度与 (1 2
/
a
2
)
1 2
成比例。
12
一、方势垒
§3.3势垒贯穿 U(x)
1.方势垒是： U0
0, x 0 or x a U (x) U0 0 0 x a
其特点是：
0a x
(1)对于势阱，波函数在无穷远处趋于零，能谱是分立的。但
头五个Hermitian多项式是:
H 2 4 2 2, H3 8 3 12 , H 4 16 4 48 2 12,
H5 32 5 160 3 120.
三. 线性谐振子的能级和波函数 1.我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是：
En
n
1 , n
2
0,1,2,3,
(3.2 8)
无穷级数，那么在x→±∞的时候H(ξ)就→ eξ² ,仍然使ψ(ξ)发散。
能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止” 或“退化”为多项式，而这就要求只能取一些特殊的值。 设要求H(ξ)是ξ的n次多项式，那么就必须让
λ=2n+1 n=0,1,2,3…
这样，我们首先得到了能量本征值：
En
n
1 , n
2
0,1,2,3...
(3.2 5)
现在H(ξ)的方程成为：
9
d 2Hn
d 2
2
dH n
d
2nH n
0.
(3.2 6)
而不难验证下面的函数正满足这个方程:
H n ( ) (1) n e 2
dn
d n
e 2 .
(3.2 7)
它称为n次Hermitian多项式。
H0 1, H1 2 ,
因而，
(at x a) (at x a)
Acos ka 0,
B sin
ka
0.
有两种情形的解：
（1） B 0, coska 0, 所以，
3
(n 1 )
k 2 , a
(n 0,1,2, )
E
2 2 2a 2
n
12
2
,
(
x)
A cos
n
12
x
a
.
(偶宇称)
(2) A 0,sin ka 0 所以，
对于势垒，波函数在无穷远处不为零。下面将看到，粒子能量
可取任意值。
1
An
, a
（与n无关）
最后，波函数是：
1 n
n(x)
sin ( x a). a 2a
5
§ 3.2线性谐振子
一维量子谐振子问题
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它 是物体在势（或势场）的稳定平衡位置附近作小振动这类常见 问题的普遍概括。在量子力学中，情况很类似。一维量子谐振 子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观 粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概 括，而且更是将来场量子化的基础。
(3.2 3)
当ξ→±∞时，方程变为：
d 2 d 2
2 .
我们发现它有近似解：
12
() ~ e 2 .
但是 e 2 /2 应该舍去。
所以再进行变换：
12
() e 2 H(8),
可得关于H(ξ)的如下方程：
d 2 H 2 dH ( 1)H 0. (3.2 4)
d 2
d
二. Hermitian多项式 可以用级数法求解H(ξ)的方程，结果发现：只要H(ξ)是“真”
n
k , a
(n 1,2,3, )
E
2 2 2a 2
n2,
( x) B sin nx .
a
（奇宇称）
4
二者合起来可写为：
n
kn 2a ,
(n 1,2,3, )
En
2 2 8a 2
n2,
n n (x) An sin 2a (x a).
波函数的归一化是：
所以，
a | (x) |2dx 1 a
10
对应的波函数是：
1 2
1 2x2
n (x) Nn H n ( ) e 2 Nn H n (x) e 2 .(
)
(3.2 9)
Nn是归一化常数，利用特殊积分
ex2 dx ,
可得
Nn
2n
n
. !
2.讨论 (1) 能级是等间隔的 ；(2)零点能是
E0
1
2
；(3)能级
的宇称偶奇相间，基态是偶宇称,即ψn(-x)=(-1)ψnn(x) (4)ψn(x)有
线性谐振子的势能函数是：
U (x) 1 2 x 2
2
(3.2 1)
其中ω是谐振子的固有圆频率。所以薛定谔方程是：
d 2
dx 2
2E
2
2 2
2
x2
0.
(3.2 2)
在方程中做如下的无量纲化变换：
7
x x,
则方程变成：
d 2 ( 2 ) ( ) 0. d 2
, 2E
众所周知，当粒子在势场的平衡位置附近作小振动时，势 场V(x) 总可作泰勒展开并只取到最低阶不为零的项。设平衡位
置x0=0，并选取能量尺度的原点使V（0）=0，则
V (x)
1 2
V
(0)
x
2
这里，含V ′(0) 的一次项由于平衡位置V ′(0)=0而消失，6
也由于是稳定振动而有V′ (0)＞0。除非振动的幅度较大，否则 不必考虑展开式中非简谐的高阶项。这类问题的物理例子比如， 原子核内核子（质子或中子）的简谐振动、原子和分子的简谐 振动、固体晶格上原子的简谐振动、甚至一个多自由度系统在 其平衡态附近的小涨落小振动，在通过引入简正坐标后也可以 化为一系列退耦的一维振子之和，即可近似为线性谐振动的迭 加。 一. 方程的化简