浅谈统计物理中的配分函数

浅谈统计物理中的配分函数

摘要：

配分函数在统计物理学中有着重要地位，是研究系统热力学性质和求解系统热力学函数的关键。本文将从统计物理学的角度对配

分函数进行简要探讨，以便进一步熟悉掌握配分函数的使用方法。

1. 引言

众所周知，统计物理学研究的对象是组成宏观物质系统的大量微观粒子运动规律, 认为系统的宏观性质是大量微观粒子运动的平均效果, 宏观量是微观量的统计平均值, 通过研究粒子的微观运动状态, 求得整个系统的宏观量。由于微观粒子运动的多样性和复杂性, 如何将复杂的微观粒子的运动与系统的宏观性质联系起来是统计物理学必须回答的问题, 在这样的情况下，配分函数便应运而生。

2. 配分函数简介

在广义系统中，系统的广义配分可以表示为：

=∑∑∑eβ(Nμ−PV−E r)

Z

广

N

V

r

便退化为系统的巨正则配分函数:

当 V=常数时，广义系统便退化为巨正则系统，Z

广

Z

=∑∑eβ(Nμ−E r)

巨

N

r

当 V=常数、N=常数时，广义系统便退化为正则系统，Z

广便退化为系统的巨正则配分函

巨

数:

=∑e−βE r

Z

正

r

由此可见，系统的广义配分函数应用范围最广，具有普遍意义，而系统的巨配分函数、正则配分函数是在一定的约束条件下的特例。

3. 几种配分函数

3.1 光子统计的配分函数

光子气体的粒子数N 是个变量, 在T,V 一定的条件下, 处于热平衡的光子气体具有某个统计平均的粒子N̅, 在这种条件下, 光子气体的配分函数为:

则

其中∈r是指单个光子第r个能级的能量。

3.1 玻色—爱因斯坦统计的配分函数

对于具有对称波函数的全同粒子体系应用玻色—爱因斯坦统计(简称B—E统计)。系统的配分函数:

3.2 费米—狄拉克统计的配分函数

对具有反对称波函数的全同粒子体系应用费米—狄拉克统计(简称B—E统计), 系统的配分函数为:Z FD=∑e−β(n1ϵ1+n2ϵ2+⋯⋯)

R。对任一r值有: n r=0,1。且满足∑n r=N

r,经计算：

ln Z FD=αN−∑ln⁡(1−e−α−βϵr)

r

4. 配分函数的作用

配分函数在统计物理中具有极其重要的作用: 配分函数是沟通微观量和宏观量的桥梁, 它把统计物理量和热力学量有机地联接了起来; 配分函数是把“复杂的求和”变成“简捷的微分”的载体。

4.1 统计物理意义下, 求系统所有的热力学宏观量归结为求配分函数

内能的统计表达式:U=∑ϵi n i=N

Z ∑ϵiωe−βϵi i

i =−NðlnZ

ðβ

，其中β=1

kT

广义力的表达式:Y=∑ωe−βϵi

i ðϵi

ðy

=−N

β

ðlnZ

ðy

,其中y是广义坐标

当体系只有体积广义参量时: P=N

βðlnZ ðV

熵的统计表达式:S=1

T (U+W)=Nk[lnZ−βðlnZ

ðβ

](取S0=0)

自由能的统计表达式:由F=U-TS, 代入U、S的统计表达式后得:

F=-NkTlnZ

吉布斯函数的统计表达式:由G=U-TS+PV, 代入U、S、P的统计表达式后得:

G=NkT(VðlnZ

ðV

−lnZ)

焓的统计表达式:由H= U+PV, 代入U、P的统计表达式后得:

H=NkT(T ðlnZ

ðT

+V

ðlnZ

ðV

)

以单原子理想气体系统为例, 系统可看成由近独立粒子组成的孤立系统, 其服从Boltzmann分布。设气体系统体积为V, 组成系统的理想气体分子总数为N, 又理想气体分子在没有外场的宏观大小的容器中自由运动, 能量值是准连续的。即ϵ=1

2m

(P x2+P y2+

P z2),分子可能的围观状态数为：dxdydzdp x dp y dp z

ℎ3

,代入配分函数定义式有：

于是理想气体系统的基本热力学函数为:

可见, 由实验得出的理想气体物态方程PV= nRT与统计理论得出的物态方程PV= NkT, 两者形式相同, Boltzmann常量的数值正是由两者比较求出的。

综上可得出, 系统所有的热力学宏观量都可由配分函数Z来表示, 即通过配分函数可以确定系统平衡态的全部热力学宏观性质, 实现了从复杂的统计物理的微观量到简单的热力学宏观量的有机联接, 架起了从微观到宏观的坚实桥梁。所以从这个角度看, 配分函数Z是一个极其重要的特性函数, 它包含了粒子体系统计信息的核心, 用表示体系的其它性质，具有特殊的物理价值。

4.2 在数学上, 配分函数使复杂的热力学统计计算变得简捷

从 4.1中的统计表达式及例子可以看出, 只要知道系统的配分函数, 系统的宏观热力学量完全可以通过求配分函数Z的微分而求得, 但按定义式先求配分函数Z值是一种复杂的指数求和, 而对配分函数Z求自然对数又使复杂的指数变成简单乘积, 再微分就变成了简单的求和。可见配分函数Z在使这种复杂的“指数求和”变成“简捷微分”到“简单求和”过程中起到极关键的作用。同时, 引入配分函数Z后, 热力学量的统计表达式变得简洁。若从美学角度看, 配分函数Z在数学上的这种作用, 充分体现了执简驭繁功能上的简单美学价值, 以及形式上的简洁美学价值。

5. 结语

配分函数是统计物理中的一个重要工具，也是统计物理的关键。只有充分理解配分函数的物理意义和作用, 才能充分体会热现象理论从热力学到统计物理的飞跃, 才能有效地把统计微观量回归到热力学宏观量，才能求解出一些比较复杂的物理问题。

最后，通过本学期的热力学与统计物理课程的学习，我对物理学有了更深一步的认识。同时这也是我第一次对统计物理有了全面的理解，在这里真诚地感谢老师辛勤的付出，我也会以更加饱满的热情去圆满的完成这门课程的学习！

参考文献：

[1] 陈立华配分函数意义的新解释华中师范大学学报第二十七卷第一期

[2] 蔡群，李俊生配分函数应用探索黄淮学刊 1997年9月第13卷第3期