第13届中国北方数学奥林匹克
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而3一(cos p一√§sin p)‘
=3一(cos2臼+3sin2口一2√芋sin臼・cos p)
I(1“+2“+…+2 016“).
=今2 0172
3.如图2,取A8、AC的中点M、Ⅳ,延长
DM至点P使得MP=MA,联结EP、MN、DN.
尸k
参考答案
基础班
:;巾=l—1 j等・等=(等)2.
1岫等尝笋
on 口n+2 — 2 口n+1
B
D 图2
C
onon+2
一方面,若AE+AF=船+凹,则
EM=FN.
=
”
+
62.
提高班 1.对e卜‘o:“=口。+。D苎。,两边同时取自
然对数得 1一南+(后+2)ln j 1+ln o。+1
n。=1n口。+l+2后ln口。一l
馒A
y%%
A
%“吲 “
小
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㈨)
加 “
一(口l+口2)62 一口l(6l+62) +口l后)=1,
=一1,
吼 A
斗硼
m。
=(.|}+2)(1+1n口。)一2I|}(1+ln n。一1). 设6。=1+ln
<・+号+寺+寺阻争..+嘉)
.
1
】
1
34
<l+了+了+了2万。
2.取珏=2 017殆(南为奇数). 易知,这样的n有无穷多个. 此时,对任意的1≤口≤2 016,由二项式 定理得 口“+(2 017一口)“
三口”+c:2 017(一口)“一1+c::(一口)“
=2
017黼“~三O(mod
0172
2 0172).
o。.
+
如而后一旷n
贝0 6。+1=(后+2)6。一2七6。一l(几≥2) =令6。+1—26。=岛(6。一26。一1)(n≥2).
又6l=1+ln
01=1+ln e=2,
蜊吲州 一%b
+
_砂的 ㈣啦啦
=一1.
故6l+口1尼、62+口2|j}、63+口3尼两两互素. 从而,当n=3时,这样的整数存在
,,
,
/ P
2. 3. 4.
同基础班第3题 同基础班第4题 (1)当 n≥4时.
Q
C 图6
由正六边形的性质易知
(i)若6。 ,62,…,6。 中有两个偶数,则当
么甜E:60。:么埘Ⅳ
万方数据
2017年第10期
j么cAQ=么尉Ⅳ,
么ACQ=么AEⅣ=900,
取卜.1任一素因子p,于是, r三1(mod p). 任取n=(o。o一…口,),,在模p意义下有 n=(口,o,一1…口1),
2017年第10期
21
第1 3届中国北方数学奥林匹克
中图分类号:G424.79 文献标识码:A 文章编号:1005—6416(2017)10一0021—05
基础班
1.设数列{口。}满足
形可以分割成n个全等的三角形. (缠祥瑞供题) 7.定义Js(n)为n在十进制表示下的数 码和,例如,S(2 017)=2+0+1+7=10.证 明:对于任意素数p,存在无穷多个正整数n 满足Js(n)三n(mod p). (李无为供题) 8.给定正整数n(n>1),n个实数戈,,菇:, …,石。满足石1,戈2,…,石。∈[O,凡],且 供题) 戈1戈2…戈。=(n一戈1)(n一戈2)…(n一戈n). 试确定y=z1+戈2+…+戈。的最大值. (张利民供题)
4.首先,假设IQI≥101. 若在某个排列中戈、y连续出现,则称 (菇,y)为一个“片段”. 由于每个排列恰有99个片段,于是,集 合Q中共有99×101=9 999个片段. 而不同的片段只有100×99=9 900个, 由抽屉原理,知存在一个片段在集合Q中出 现至少两次,矛盾. 从而,I Q I≤100. 其次,令
仃f=(1+i,100+i,2+i,99+i,…, 50+i,51+i)(O≤i≤99),
么伽D=么凹D=30。
=[BNM=[GMN.
因此,点D在删上.
6.首先,易证n=1,2不成立. 下面证明n≥3均可以. 考虑是否存在n个全等的三角形可以拼 成一个凸五边形. 若n为奇数,注意到,两个全等的直角三 角形可以拼成一个平行四边形,则偶数个全 等的直角三角形可以拼成一个平行四边形, 再加一个直角三角形可以拼成凸五边形(如 图4);若乃为偶数,则奇数个全等的直角三 角形可以拼成一个梯形,再加一个直角三角 形可以拼成一个凸五边形(如图5).
\
口n+1
/
则数列f坐1是以2为首项、2为公比
【
o。
又由[PME=[MAN=Z DNF及
MP=MA=DN.
J
的等比数列.
知
△PME丝△DNF.wk.baidu.com
黜PE=DF=DE,且 [NDF=[MPE=[PDE.
于是,等彰~。=击.
口。
Z”一l
当n=1,2,3时,易证
34
投[EDF=[MDN=[BAC.
另一方面,若么肋F=么烈C,则
求儿口。.
i=1
(郝红宾供题)
2.同基础班第3题. 3.同基础班第4题. 4.已知n≥3(n∈Z+),n个两两互素的 正整数口,,o:,…,口。满足:可以适当添加 “+”或“一”使它们的代数和为O.问:是否
么脚=300,D、E
分别为边AB、AC上
8丛c
(金磊供题)
存在一组正整数6。,6:,…,6。(允许相同),使
AE+AF=BE+CF
提高班
1.已知数列{o。}满足
n1=e,口2
e 8n 2 e3,
铮么肋F=么烈C.
e1-‘8:“=%+】8翼l(恐≥2,忍∈z+,j}∈R+). L恐;z,忍∈厶+,拧℃K+,・
=8n+18n—I
(缠祥瑞供题)
缈卫
4.记Q为l,2,…,100的若干个排列组 成的集合,且满足对于任意的1≤口、6≤100, 口≠6,至多存在一个盯∈Q,使得在盯中n 的下一个数恰为6.求集合Q的元素个数的 最大值. 5.如图1,在 △A8C中,么A= 600,M为曰C的中 点,Ⅳ在A曰上,且 (孙公春供题)
由于0为△胛G的外心,则
万方数据
若存在虮=o,则Ⅱn≤n一1.
24
中等数学
矗为偶数时,
61+ol知,62+02 j},…,6。+口。七
中有两项同为偶数,不互素. (ii)若6。,6:,…,6。中至多有一个偶数, 于是
,yI:鲁,且血铲1. ∥沪再,且斟铲L
则其中至少有三个奇数,设6。、6:、6,为奇数 考虑o。、口:、口,.由题设其中至少有两个 奇数,不妨设o。、口:为奇数,则当后为奇数时, 6l+n1庇、62+口2而同为偶数,不互素 综上,n≥4时,不存在. (2)当n=3时. 由题设,不妨设口1+口2=口3. 注意到,(口。,口:)=1. 由裴蜀定理,知存在整数x、y使得
得对任意正整数后,61+玩1,62+尼02,…,6。+ 玩。两两互素? (张利民供题) 5.已知正六边形A曰优)EF边长为o,两 个动点M、Ⅳ分别在边BC、DE上运动,且满
任意点,F、G、日分
足么MⅣ=600.证明:埘・AⅣ一删・删恒
为定值. 数码和.例如, (黄全福供题) 6.定义S,(n)为n在r(r>1)进制下的
别为边船、凹、胞的中点,D为△F伽的外
心.证明:点0在删上.
6.求所有的正整数n,使得存在凸五边
万方数据
22
中等数学
38=(1 102)3,.s,(38)=1+1+O+2=4.
证明:(1)对于任意r>2,存在素数p,使 得对任意正整数n,有S,(n)三n(mod p); (2)对于任意r>1及素数p,存在无穷 多个正整数儿满足s,(n)三n(mod p). (李无为供题) 7.同基础班第8题. 8.青青草原上生活着编号为1,2,…,7 的7只羊和编号为1,2,…,2 017的2 017匹 狼.在该草原上有如下奇怪的规则: (1)定义P(n)为小于n的素数个数,仅
。
=瓦面丽‘万仉
在△ACQ中,注意到,
cos口一√歹sin秽
AQ=豢,
cQ=胁粕口=等,
鼬AM・AQ—BM・PQ
一
PQ=口_cQ=型挚.
口2(3一(cos伊一万sin p)2)
2sin(300+p)・cos
p
当n=2Ij}+2时,若某匹狼吃了羊,由 n=2|j}+1的推论,它会立刻被某匹其他狼吃 掉.故n=2七+2时所有的狼均不敢吃羊. 当n=2七+3时,若某匹狼吃了羊,由 n=2后+2的推论,其他的狼均不敢吃自己.故 n=2I|}+3时所有的狼均想吃羊. 由数学归纳法,知几为奇数时所有的狼均
Ac=AE=万口,cP=口.
则△cAQ丝△以Ⅳ,
DN=Q—EN=o—CQ=PQ, AM・AN—BM・DN=AM・AQ—BM・PQ. 记么cAQ=良 在△ACM中,由正弦定理得
即
=∑r¨10。三∑口。=.s,(n),
七=l 丘=l
S,(n)三n(modp). (2)设p的r进制表示为
p
j埘=高,
CM sin p—sin CM=
5.如图6,延长DC,分别与A曰、胧的延
长线交于点P、Q,联结AC、AE
A F。
62=1+ln口2=1+ln e3=4,
则6。+l一26。=O j 6。=28(n∈Z+) j 6。=1+ln
2 017
o。=28
j口。=e2k1.
记s=∑(2‘一1).
2 017
故Ⅱo;=e5=e22“8。2
i=1
,
019.
口l戈+02y=1.
不 妨 设zl≤z2≤…≤z。.则z1乞≤1.
故客舻骞惫
=蕞瓮毫+毒惫一・.
1+zl+z2+zlz2
j|量l+彳七
而,y=∑菇。=n∑y。≤n2一n.
孟=l 七=l
从又 当戈l,戈2,…,戈。中恰有n一1个为n、 1个为0时,y=n2一n. 因此,所求最大值为n2一n.
不妨设髫>0>弘 吃
sin(300+p)一√3 sin
7.同基础班第8题. 8.首先,考虑有1只羊和n匹狼且所有 狼均可以吃这只羊的情形. 当n=1时,这匹狼当然会把羊吃掉,不 用担心自己变成羊之后会被吃. 当n=2时,这两匹狼均不敢吃羊,否则, 会在变成羊之后被另外一匹狼吃掉. 当n=3时,这三匹狼均想吃这只羊,因 为即使自己变成羊,由n=2情形时的推论, 另外两匹狼不敢吃自己. 设当n=2蠡时所有的狼均不敢吃羊, n=2后+1时所有的狼均想吃羊.
枷
再口
2(口^口^一1…口1),.
n—l
30。一sin(30。+p)
令几=p∑r航.则
I=U
S,(n)=p(口I+口I—l+…+口1). 于是,pI凡且pIJs(n). 因此,存在无穷多个正整数n满足 .s,(n)三n(mod p).
p
万口sin臼
sin(30。+p)‘
故肼=口一CM
2—‘五琢声而厂口
其中,所有元素均按模100处理, Q={盯i IO≤i≤99}. 则对于1≤另≤99,盯o(彤+1)一矿o(z)不 重复地取遍模100的除O外的完全剩余系. 故对口≠6,可唯一找到1≤壳≤99,使得 仃o(七+1)一盯o(七)三6一口(mod 100), 然后,可找到唯一适当的i,使得盯;(七)=o.
当P(i)号(mod 7)时,编号为i的狼可以吃
掉编号为歹的羊(也可以不吃); (2)若编号为i的狼吃了编号为_『的羊, 则它会立刻变成编号为歹的羊; (3)每匹狼在确保不会被吃的前提下都 非常想体验作为一只羊的生活. 假设每匹狼都很聪明,求最后草原上会 剩下多少匹狼? (李无为 供题)
贝02
2(1“+2“+…+2 016“)
口。=・心=÷,
坐掣掣:半(n∈z+).
口:+l 证明:对于任意的正整数n,均有
(1+o。+1)2
、
。
+7
。。+口:+…+口。<碧.(刘宏明
2 0172
2.证明:存在无穷多个正整数n,使得 f(1“+2“+…+2 0164). (张雷供题) 3.在△ABC中,D为边Bc的中点,E、F 分别为边A曰、AC上的点,且DE=DF证明:
心晒
图4 图5
从而,此集合Q满足要求
综上,IQI的最大值为100.
从而,对任意n≥3,存在n个全等的三 角形可以拼成一个凸五边形. 选取这个凸五边形,故可以分割成n个 全等的三角形. 7.设p的十进制表示为p=瓦i了ii.
5.如图3,联结肼、眦
A
令n=p∑10靛.则
S(n)=p(口后+n七一1+…+n1). 于是,pIn且pIS(n). 因此,存在无穷多个正整数n满足
[MDE=[NDF. 由正弦定理知
EM
口1+02+…+on<万;
当您≥4时,
口n
2歹j<歹曩F百2了×F
1
】
1
】
sin么删sin么ZⅥ纪
DF FN
DE
:亭口1+n,+…+8。
sin么DⅣF
万方数据
sin么ⅣDF
2017年第10期 =々EM=b?N=令AE+A壬?=BE+C}1.
么FDG=1200. 从而,D、F、M、G四点共圆. 又0F=DG,则
幽3
5(n)三托(mod p). 8.最大值为n2一乃. 令yI=生(七=l,2,…,n).
由中点及中位线定理知
FM
f}托.HG f{托。m?}媪。GM?}媪
j FM/f HG,GM?/HF
j四边形剧砸G为平行四边形,且
于是,y。∈[o,1],Ⅱy。=Ⅱ(1一y。).
詹=l 七=l
么删G=么朋G=600.