线性系统的计算机辅助分析

x1 (t ) x (t ) X (t ) 2 或X T x1 (t ) , x2 (t )... xn (t ) ... xn (t )
0 x1 X , A 1 x2 L
0 , b 1 R L L
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二、零极点增益模型

零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其 原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式 处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。
( s z1 )( s z2 )...( s zm ) G(s) K ( s p1 )( s p2 )...( s pn )
k= 1
》num=[1,11,30,0]; 》den=[1,9,45,87,50]; 》[z,p,k]=tf2zp(num,den)
0 -6
-3.0000+4.0000i -3.0000-4.0000i
-5
-2.0000
-1.0000
结果表达式： G( s)
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s( s 6)( s 5) ( s 1)( s 2)( s 3 4 j )( s 3 4 j )
4

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线性定常连续系统的微分方程模型

通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定 常系统的解析解，这种方法通常只适用于 常系数的线性微分方程 解析解是精确的，然而通常寻找解析解是 困难的。 MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的 数值解法函数，不仅适用于线性定常系统， 也适用于非线性及时变系统。
图1-1
消去中间变量：
d 2uc duc LC RC uc u dt dt
U c (s) 1 U ( s) LCS 2 RCS 1
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传函表示形式：
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一阶微分方程表示形式：
du 1 uc c i dt c i di 1 u R i 1 u c dt L L L
y1 uc x1 y2 i x2
y1 1 0 x1 y 0 1 x 2 2
向量矩阵表示形式：
在向量矩阵表示形式中，如果令 x1 uc，x2 i 则其变为
x1 0 x 1 2 L
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uc 0 1 i L
uc 0 1u R L i L
线性控制系统的计算机辅助分析
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控制系统的数学描述与建模
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在线性系统理论中，一般常用的数学模型 形式有：

系统的外部模型
微分方程模型 传递函数模型 零极点增益模型 部分分式模型


系统的内部模型

状态方程模型,系统仿真中常常使用此类模型

这些模型之间有内在的联系，可以相互进 行转换。
结果表达式：
-2.0000
来自百度文库0.25i 0.25i 2 G( s) 2 s 2i s 2i s 1
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内部模型
一、研究控制系统的两种方法
1、建立在传递函数基础上的经典控制理论，其数学基础 是微分方程和积分变换。（40－50年代）传递函数描 述实际是一种外部描述法，即输入－输出描述，它的 前提是把系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内 部结构和内部变量，只是反映外部变量间的因果关系， 即输入—输出间的因果关系。（见图1）
1 C
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3、状态空间：以状态变量x1,x2,…xn为坐标轴, 组成的n维空间称为状态空间。状态空间中的 每一点都代表了状态变量的唯一的，特定的一 组值。状态随时间的变化过程，则构成了状态 空间中的一条轨迹，这条轨迹称为状态轨迹。 4、状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微 分方程组称为状态方程。状态方程反映了输入 与状态变量间的关系。
5


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控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程 复域模型 — 传递函数
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线性部件的微分方程



先建立部件（环节）的微分方程 然后建立控制系统的微分方程 微分方程是系统所遵循的运动规律直接得 出的时域由各变量的关系式。 建立模型的方法 根据不同系统（电、力、热等）所遵循的 运动或变化规律列写方程。
di Ri uc dt du iC c dt uL
± Vs=1V
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d 2 uc duc uc u vo (t ) LC 2 RC dt dt d 2uc R duc 1 1 uc u dt 2 L dt LC 8 LC
常见函数L变换
f (t )
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
u1 u2 … up 图2 内部描述
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x1,,x2, x3,……, xn
y1 y2 … yq
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状态空间描述的概念
一、基本定义
先看一个RLC电力的例子u 图中， u-输入变量 列写微分方程：
R
i
L
C
uc
d uc C dt i L di Ri u u c dt
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3. 部分分式展开
2s 3 9s 1 G(s) 3 2 s s 4s 4
》num=[2,0,9,1]; r= p= k= 》den=[1,1,4,4]; 0.0000-0.2500i 0.0000+2.0000i 2 》[r,p,k]=residue(num,den)
0.0000+0.2500i 0.0000-2.0000i -1.0000
G( s)
i 1 n
ri k ( s) s pi




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函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展 开，以及把传函分解为微分单元的形式。 向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展 开后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数 项返回到k。 若分子多项式阶次与分母多项式相等，k为标量，若小 于，该项不存在。 [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比 p(s)/q(s)。
借助多项式乘法函数conv来处理：
》num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6])); 》den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5]))));
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2. 零极点增益模型
s 3 11s 2 30s G( s) 4 s 9s 3 45s 2 87 s 50 z= p=
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举例
1.
传递函数描述
1）
12s 3 24s 2 20 G( s) 4 2s 4s 3 6s 2 2s 2
》num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2]; 2）
4( s 2)( s 2 6s 6) 2 G ( s) s( s 1)3 ( s 3 3s 2 2 s 5)


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线性定常连续系统的微分方程模型
举例 exp3_1.m

电路图如下，R=1.4欧，L=2亨，C=0.32法，初 始状态：电感电流为零，电容电压为0.5V，t=0 时刻接入1V的电压，求0<t<15s时，i(t)，vo(t)的 值，并且画出电流与电容电压的关系曲线。
R t=0 i (t ) L + C
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线性定常连续系统的微分方程模型

微分方程是控制系统模型的基础，一般来 讲，利用机械学、电学、力学等物理规律， 便可以得到控制系统的动态方程，这些方 程对于线性定常连续系统而言是一种常系 数的线性微分方程。 如果已知输入量及变量的初始条件，对微 分方程进行求解，就可以得到系统输出量 的表达式，并由此对系统进行性能分析。
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传递函数描述
一、连续系统的传递函数模型

连续系统的传递函数如下：
C ( s ) b1s m b2 s m 1 ... bm s bm 1 G( s) R( s ) a1s n a2 s n 1 ... an s an 1

对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a1不等于零， 这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成 的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den 表示。 num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1] 注意：它们都是按s的降幂进行排列的。
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F (s )
1 1s 2 1s 3 1s 1 ( s a)
(t ) 1(t ) t
t2 2
e sin t cos t
at
(s2 2 ) s (s2 2 )
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微分方程一般形式：
a1C(n) a 2C(n-1) a n C a n+1C b1r (m) b2 r (m-1) bm r bm+1r
1 C
x1 0 1u R L x2 L
1 C
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再令 则可写为： X AX bu 1、状态变量：足以完全表征系统运动状态的最 小个数的一组变量称为状态变量。如果给定了 t=to时刻这组变量值，和 t>=to时输入的时间 函数，那么，系统在t>=to的任何瞬间的行为 就完全确定了。 2、状态向量：以状态变量为元所组成的向量,称 为状态向量。如x1(t)、x2(t)……xn(t)是系统 一组状态变量。则状态向量为：
X AX bu
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5、输出方程：系统输出与状态变量间的函数关 系。例如，前例中，若取u c为输出，则有 y uc x1 x 写出矩阵形式： [1 0] 1 y
x2
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若指定i为输出，则 y i x2 若指定 uc , i均为输出，则


K为系统增益，zi为零点，pj为极点
在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即：
z=[z1,z2,…,zm] p=[p1,p2,...,pn] K=[K]
函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。 2013-7-16
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三、部分分式展开 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行 分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。
L: 设初始条件为0
a1s n a 2s n-1 a 3s n-2 a n s a n+1 C(s) b1s m b 2s m1 b ms b m+1 R(s)
C ( s ) b1s m b2 s m 1 ... bm s bm 1 G( s) R( s ) a1s n a2 s n 1 ... an s an 1
u1 u2 y1 y2
…
图1 外部描述
…
up
yq
系统是由一些相互制约的部分构成的整体，方块以 外部分称为系统环境。系统输入、系统输出统称为系 2013-7-16 17 统外部变量。
2、建立在状态空间描述基础上的现代控制理论，其 数学基础是线性代数和矩阵理论。（60年代－现 在） 现代控制理论一般采用内部描述。 内部描述是基于系统内部分析的一类数学模型， 它不仅考虑系统的外部变量（输入、输出），还要考 虑系统的内部变量（状态变量）。它需要有2个数学 方程来组成。一个是反映系统内部变量组和输入变量 组间的因果关系的数学表达式，称状态方程。另一个 是表征系统内部变量组及输入变量组和输出变量组间 转换关系的数学表达式，称输出方程。