直线、平面平行与垂直的判定与性质(证明题详细讲解)

直线、平面平行与垂直的判定及其性质

7. 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，

（1）求证：PA⊥平面ABCD；

（2）若平面PAB平面PCD l

=，问：直线l能否与平面ABCD平行？

请说明理由.

【解析】（1）因为∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.

而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,

所以AD⊥平面PAB, 所以AD⊥PA.

同理可得AB⊥PA.

由于AB、AD⊂平面ABCD，且AB AD=A,所以PA⊥平面ABCD.

（2）（方法一）不平行.

证明：假定直线l∥平面ABCD,

由于l⊂平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD, 所以l∥CD.

同理可得l∥AB, 所以AB∥CD.

这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰不平行相矛盾,

故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行.

（方法二）因为梯形ABCD中AD∥BC,

所以直线AB与直线CD相交，设AB CD=T.

由T∈CD，CD⊂平面PCD得T∈平面PCD.

同理T∈平面PAB.

即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.

所以直线l与平面ABCD不平行.

8. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11,,AB BC BC BC AB BC ⊥⊥=，,,E F G 分别为线段1111,,AC AC BB 的中点，求证：

（1）平面ABC ⊥平面1ABC ; （2）//EF 面11BCC B ；

（3）GF ⊥平面11AB C 【解析】(1)

BC AB ⊥

11BC BC AB

BC B

⊥=

BC ∴⊥平面1ABC BC ⊂平面ABC

∴平面ABC ⊥平面1ABC

(2)

111,AE EC A F FC ==,1//EF AA ∴

11//BB AA 1//EF BB ∴

11EF BCC B ⊄面∴//EF 面11BCC B ；

(3)连接EB ，则四边形EFGB 为平行四边形

11

11111111

11

11

BE FG A C EB AC FG AC BC ABC B C ABC B C B C B C C ⊥∴⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥=面面,

GF ∴⊥平面11AB C 。

A

B C

A 1

B 1

C 1

E F

G

A

B C

A 1

B 1

C 1

E

F

G

9. 在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，OA ⊥平面ABCD ，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，求证：

（1）平面BDO ⊥平面ACO ； （2）EF//平面OCD.

【解析】证明：⑴∵OA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以OA BD ⊥， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又OA AC A =，

∴BD ⊥平面OAC ，

又∵BD ⊂平面OBD ，∴平面BDO ⊥平面ACO ． ⑵取OD 中点M ，连接EM,CM ,则1

,2

ME AD ME AD =‖， ∵四边形ABCD 是菱形，∴//,AD BC AD BC =， ∵F 为BC 的中点，∴1

,2

CF AD CF AD =‖， ∴,ME CF ME CF =‖．

∴四边形EFCM 是平行四边形，∴//EF CM ， 又∵EF ⊄平面OCD ，CM ⊂平面OCD ． ∴EF ‖平面OCD ．

D

A

B

C

F

E O

M

10. 如图l ，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ，∠ABC=600，E 是BC 的中点．如图2，将△ABE 沿AE 折起，使二面角B —AE —C 成直二面角，连结BC ，BD ，F 是CD 的中点，P 是棱BC 的中点． (1)求证：AE ⊥BD ； ’

(2)求证：平面PEF ⊥平面AECD ； (3)判断DE 能否垂直于平面ABC?并说明理由．

【解析】（1）连接BE ，取AE 中点M ，连接,BM DM ．

在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ，60ABC ︒

∠=，E 是BC 的中点

ABE ∴∆与ADE ∆都是等边三角形 ,BM AE DM AE ∴⊥⊥

,,BM

DM M BM DM =⊂平面BDM AE ∴⊥平面BDM

BD ⊂平面BDM A E B D ∴⊥． （2）连接CM 交EF 于点N ，连接PN

ME ∥FC ，且ME ＝FC ∴四边形MECF 是平行四边形 N ∴是线段CM 的中点 P 是线段BC 的中点 PN ∴∥BM

A

B

D

E

图1

图2

B

D

A

C

P

Q

N

M

O

A

C

D

B

P

M

Q BM ⊥平面AECD PN ∴⊥平面AECD ．

PN ⊂平面PEF PEF AECD ∴⊥平面平面

（3）DE 与平面ABC 不垂直．

证明：假设DE ⊥平面ABC ， 则DE AB ⊥ BM ⊥平面AECD B M D E

∴⊥ AB BM B =，,AB BM ⊂平面ABE DE ∴⊥平面ABE

DE AE ∴⊥，这与60AED ∠=矛盾 DE ∴与平面ABC 不垂直．

11. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 中为菱形，

60=∠BAD ，Q 为AD 的中点。

（1） 若PD PA =，求证：平面⊥PQB 平面PAD ；

（2） 点M 在线段PC 上，tPC PM =，试确定实数t 的值，使得PA ‖平面

MQB 。

【解析】（1）连BD ，

四边形ABCD 菱形 AD AB ∴=，

60=∠BAD

∴为正三角形ABD ∆中点为AD Q

BQ AD ⊥∴

PD PA = Q 为AD 的中点，∴ PQ AD ⊥

又BQ

PQ Q =

PQB AD 平面⊥∴，PAD AD 平面⊂

PAD PQB 平面平面⊥∴