利用向量法求空间角[优质PPT]

O
AF1 (12,0,1), BD1 (12,12,1) A
cosAF1,BD1 AF1BD1 AF1 BD1
1 0 4 5
1 3
x
30 10
42
所以，异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为 30 10
B1
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点评：向量法求异面直线所成角的余弦值的一般步骤
建系 求两异面直线的方向向量 求两方向向量的夹角的余弦值
§3.2.3立体几何中的 向量方法
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向 量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
的关系？ 互补
cos(
)
=
cos
AB,
n
2
所以，直线与平面所成的角的正弦值为
sin = cos AB, n
二面角 （范围：0,）
n2
n1
n2
n1
n1,n2
n1,n2
cos cos n1, n2
cos cosn1,n2
例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点
B处.从A，B到直线 l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a
建系 求两平面的法向量 求两法向量的夹角的余弦值
得二面角的余弦值
异面直线所成的角 （范围：
0,
2
）
o 过空间任意一点 分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么
直线a´与b´ 所成的不大于90°的角 ，叫做异面直线a与b 所
成的角。
a
a´
o• b´
b
用向量法求异面直线所成角
设两异面直线a、b的方向向量分别为m 和 n ，
所以
1
y2 2 z2 1 2 x2 y2
0 0
取y2=1,得x2=z2=-2
C x
故m=(-2, 1,-2)
又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1)
观察图形知，二面角
cosm, AA1
mAA1 m AA1
2 31
2 3
F-AE-D为锐角，所以 所求二面角F-AE-D的
余弦值为 2 3
点评：法向量法求二面角的余弦值的一般步骤
z
B1(1,0,1) C(1,1,0) C1(1,1,1)
A1
D1
B1C1 (0,1,0),
B1
A1B (1 ,0,1 )A , C (1 ,1 ,0)
设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),
C1 A
则 nA1B 0,nAC 0
X1+z1=0 所以 X1+y1=0
取x1=1,得y1=z1=-1x
（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形）
向量的有关知识：
1、两向量数量积的定义：a ·b= |_a_|·_|b_|_·_c_o_s_〈__a_,_b_〉 a b
2、两向量夹角公式：cos 〈a,b〉 = ___a____b ____
3、平面的法向量：__与__平__面_垂__直__的__向__量___
（1）当 m与 的n 夹角 不大于90°时，异面 直线a、b 所成的角
与 和 的m夹角 n
相等
（2）当 m与 n的夹 角大于90°时，异面 直线a、b 所成的角
与 和 m的夹角n
互补
ma
m
a
a´
o•
b´
a´
o•
b´
b
n
cos cos m, n
b
n
cos cos m,n
用向量法求异面直线所成角
设两异面直线a、b的方向向量分别为 m 和 n ，
o 向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=O 1，取A1B1 、A1O1
的中点D1 、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。
解：以点O为坐标原点建立空间直角坐
z
O1
标系,如图所示，并设OA=1,则：
F1
D1
A(1,0,0)
B(0,1,0)
F1( 1 ,0,1) 2
D1( 1 , 1 ,1) A1 22
二、知识讲解与典例分析
例1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法
o 向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=O 1，取A1B1 、A1O1
的中点D1 、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。
O1
B1
F1
D1
A1
O B
A
例1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法
和 b,CD的长为 ,cAB的长为 .求d 库底与水坝所成二面角的余弦值.
解：如图，A a ， C B b ， D C c ， D A d . B
B
化为向量问题
C
根据向量的加法法则 AB AC CD DB
D
进行向量运算 d2A2B (A C C D D)B 2
A
222
A C B D D 2 ( A C C A D D C C B D D ) B
得直线与平面所成角的正弦值
例2 (2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的余
弦值。
z
(2)由题意知 F(0,1,1),E(1,1,0) A1
D1
2
2 B1
C1
F
1
1
AF (0,1, )A , E ( ,1,0)
2
2
A
Dy
设平面AEF的法向量为m=(x2,y2,z2), B
E
则 mAF 0,mAE 0
得两异面直线所成角的余弦值
例2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、 DD1的中点，
(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
(2)求二面角F-AE-D的余弦值。
Baidu Nhomakorabea
A1
D1
B1
C1
F
A D
E B
C
例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
解： (1)以点A为坐标原点建立空间 直角坐标系,如图所示，则： A(0,0,0)
所以，异面直线a、b所成的角的余弦 值为
cos cos m, n m n m n
x1x2y1y2z1z2
x12y12z12 x22y22z22
直线与平面所成的角（范围：
0,
2
）
A n
A n
B
O
问题1 的余角与< AB , n >
的关系？ 相等
cos(
2
) =
cos
AB, n
B
O
问题2 的余角与< AB , n >
B C
故n=(1,-1,-1)
cosn,B1C1
nB1C1 0 1 0 n B1C1 1 3
3 3
故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为 3
3
D y
点评：向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤
建系
求直线的方向向量 求平面的法向量
求直线的方向向量与平面的法向量 的夹角的余弦值