计算流体力学-第2讲-双曲型方程组
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1 (V1 n z ) 2 (V2 n z ) 1V1 (V1 n z ) p1n 2 V2 (V2 n z ) p2n E (V n z ) p V n E (V n z ) p V n 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1
x B
A
给定x3,t3 利用 （假设t3充分小）
x3 x1 (u1 c1 )(t3 t1 ) x3 x2 (u2 c2 )(t3 t2 )
区域（2），（4） 未扰动 区域（1）内的流动使用基本 方法计算
解出 x1, x2
因而方程是非线性的
注意：
u1 u ( x1 ), u 2 u ( x2 ) c1 c( x1 ), c2 c( x2 )
z
u1 , p1 , 1
u 2 , p2 , 2
原则： 连续区需满足微分方程 间断两侧必须满足积分方程
13 Copyright by Li Xinliang
4. 双曲型方程的弱解及熵条件 1） 弱解
u f (u) 0, t x
u ( x,0) ( x)
t
u u ( x, t ) x (t ) u u
1
第2 讲 双曲型方程组及其间断解
§2.4 双曲型方程及其数学性质
1. 双曲方程边界条件的提法 考虑方程组： 令：
f(U) A U U f(U) 0 t x
U (u1 , u2 ,...... u m )T
U U A 0 t x
如果矩阵A 能通过相似变换对角化
双曲型
（4） （3） （2） （1）
0
u
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -5 0 5 10
x
不同时刻的速度分布（A=1）
0.015 0.01
t=0
x
0.005
t=4
t=3
t=2
t=1
0
利用特征线，分析不同区域的差异 等（均）熵情况下，同族特征线不会相交
-0.005
u
-0.01
1D Euler with initial disturbance u=0.01sin(x)
区域（3）内的计算可简化
利用Riemann不变量得：
2 2 u3 1 c3 u1 1 c1 u 2 c u 2 c 3 3 2 2 1 1
解出 u3 , c3
解出t3时刻的流场，继续推进下个时刻
(3) 区内的波传播速度为常数，且 在传播过程中物理量保持不变—— 简单波 特征线为直线
u 4 u5 c4 c5
在（3）区内， 所有物理量（u,c）沿特征线M不变 特征保持直线，特征波传播速度不变
12
简单波
Copyright by Li XinliLeabharlann Baidung
3. 双曲型方程的间断解 双曲方程的特点： 扰动波传播速度有限 可能产生间断
弱间断： 函数连续，但导数间断 （如稀疏波的波头、波尾） 强间断： 函数本身间断 （如激波、接触间断） 流体力学控制方程： 积分型 （假设函数连续、光滑） 微分型 间断处虽然无法满足微分型方程， 但积分型方程（三大守恒律）仍然满足 例： 激波两侧关系
U U S1 ΛS 0 t x S U U ΛS 0 t x ωk ( S( U U Λ )0 t x
令
1 S ... m
（行向量）
x x( sk ) 满足： dx / dsk k t t ( s ) k t sk
M
（2）
5 4
（4）
（ 1）
x
3
2 2 u5 1 c5 u3 1 c3 u 2 c u 2 c 5 5 2 2 1 1
1
2
由于点1 和点3 均在未扰动区： u1 u2 u0 ; c1 c2 c0
2 2 u 4 1 c4 u5 1 c5 u 2 c u 2 c 4 4 5 5 1 1
u B c 2 /
u
例如，膨胀波
1, 2 u c
c S c
u u c[ t (u c) x ] [ t (u c) x ] 0 u u c[ (u c) ] [ (u c) ] 0 t x t x
R不变
Riemann 不变量 知识点，牢记！
8 Copyright by Li Xinliang
一维均熵流动沿特征线Riemann不变量保持不变
例2.1： 有限振幅波的传播问题
目的： 学会如何运用Riemann不变量解题
A sin x 0 x 2 u ( x,0) 0 others ( x,0) 1; p( x,0) 1
知识点
亚音速入口
超音速出口 亚音速出口
给定2个边界条件
无需给定边界条件 给定1个边界条件
5 Copyright by Li Xinliang
2. 双曲型方程组的特征方程
U U A(U) 0 t x U (u1 , u 2 ,...... u m )T
变系数方程组的情况
令：
A S 1 ΛS
Copyright by Li Xinliang
2
1) 一阶常系数偏微方程组
U U A 0 t x U (u1 , u 2 ,...... u m )T
如果矩阵A 可以被对角化： A S 1 ΛS
U U S1 ΛS 0 t x S U U ΛS 0 t x
第1个方程转化为 则有
令：
Ru
d
c
同理，沿特征线2： 对于等熵完全气体
dx / dt u c
2c R u 1 2c S u 1
du c d 0 沿特征线1： d d u 1 c S d 2 2 保持不变 dR / d
-0.015 -5
0
5
10
x
思考题： 小扰动的传播情况？
不同时刻的速度分布（A=0.01） u( x, t ) 0.005sin(x ct ) 0.005sin(x ct )
9 Copyright by Li Xinliang
A sin x 0 x 2 u ( x,0) 0 others ( x,0) 1; p( x,0) 1
寻找积分因子：
R R( , u )
dR R u R d u
du c d 0 d d
R R c 1; u
沿特征线1： dx / dt u c 有：
d (u c) d t x
x , t 0
（1）
x
若u(x,t)在除有限条间断外连续可微且满足方程（1）； 且在间断线 x (t ) 满足： f f d
u u
dt
则称 u(x,t)是方程（1）的弱解
“间断处满足积分方程”
任意控制体
u f (u ) V t x dxdt 0
U U k )0 t x
U j t k U j x )0
在x-t空间引入曲线：
d dx dt dsk x dsk t dsk
j
kj (
j
kj
dU j dsk
0
（变系数情况）虽然不能解耦，但还能转换成常微方程
6 Copyright by Li Xinliang
11 Copyright by Li Xinliang
区域 （3） 内扰动波的传播特点
t
（3）
考虑 （3）区内的, 同属一条特 征线M 上的任意两个点4 和5：
2 2 u c u c1 4 4 1 1 1 u 2 c u 2 c 4 4 2 2 1 1
对于两自变量情况,可化为：
11
21
u1 u 12 2 0
u1 u 22 2 0
2个常微方程
如果存在积分因子，使得
* du * du dR 111 1 1 12 2
* du * du dS 221 1 2 22 2
计算流体力学讲义
第二讲 双曲型方程组及间断解
李新亮 lixl@imech.ac.cn ；力学所主楼219； 82543801
知识点：
双曲型方程组边界条件提法 双曲型方程的特征方程 双曲型方程的间断解及熵条件 Riemann间断解
讲义、课件上传至 www.cfluid.com (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ”
考虑一维无粘流动（Euler方程），初始时 刻（t=0）流动状态如下：
xa x xb u( x), ( x) u, 0, 0 ( const) others
数值解
1 0.8 0.6 0.4 0.2
t=0
t=1 t=2
试分析t=t0时刻的流动状态 （假设流场 不出现间断） t
3 Copyright by Li Xinliang
双曲方程边界条件提法
U U A 0 t x
v j t
j
v j x
0
j=1
变换成为了彼此独立的n个单波方程
j=2
方法： 独立给定j个方程的边界条件
如果 j>0, 则在左端给定vj的边界条件 如果 j<0, 则在右端给定vj的边界条件
A B
特点： 左、右边界总共给定n个边界条件，各自的个数视特征 值的符号确定
可推广到一般的双曲型方程组
4
Copyright by Li Xinliang
2） 一维Euler方程
U F(U) 0 t x
U ( , u, E )T
A F(U) U
u 2 F(U) u p ( E p)u
A S 1 ΛS
diag(1 , 2 , 3 )
1 u, 2 u c, 3 u c
对于左边界：
条件
u 0 and u 0 and u 0 and u 0 and u c u c u c u c
描述
边界条件设定
超音速入口
给定3个边界条件
则有：
R 0
S 0
R R( )
S S ( )
Riemann不变量
沿特征线： Riemann不变量保持不变
7
Copyright by Li Xinliang
常见情况讨论: 一维等（均）熵运动
U U B 0 t x
矩阵B的特征值
U u
diag(1 , 2 ,...... m )
令： 即：
V SU
有
v j x 0
V V Λ 0 t x
v j t
j
m个方程完全解耦， 可独立求解
x jt 0 有m 条特征线： m个特征相容关系式： v j const.
如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是双曲型的
-0.015 -5
0
5
10
x
一维扰动波的传播 （上： A=1; 下： A=0.01）
10 Copyright by Li Xinliang
基本解题思路： 利用特征关系
t t
dx / dt u c
概念： 简单波
D
3
dx / dt u c
F
（4）
G
E
x 1 2
（3） C （2） （1）
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
t=0
t=1 t=2
u
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -5 0 5 10
x
0.015
0.01
t=0
0.005
t=4
t=3
t=2
t=1
0
-0.005
u
-0.01
1D Euler with initial disturbance u=0.01sin(x)
x B
A
给定x3,t3 利用 （假设t3充分小）
x3 x1 (u1 c1 )(t3 t1 ) x3 x2 (u2 c2 )(t3 t2 )
区域（2），（4） 未扰动 区域（1）内的流动使用基本 方法计算
解出 x1, x2
因而方程是非线性的
注意：
u1 u ( x1 ), u 2 u ( x2 ) c1 c( x1 ), c2 c( x2 )
z
u1 , p1 , 1
u 2 , p2 , 2
原则： 连续区需满足微分方程 间断两侧必须满足积分方程
13 Copyright by Li Xinliang
4. 双曲型方程的弱解及熵条件 1） 弱解
u f (u) 0, t x
u ( x,0) ( x)
t
u u ( x, t ) x (t ) u u
1
第2 讲 双曲型方程组及其间断解
§2.4 双曲型方程及其数学性质
1. 双曲方程边界条件的提法 考虑方程组： 令：
f(U) A U U f(U) 0 t x
U (u1 , u2 ,...... u m )T
U U A 0 t x
如果矩阵A 能通过相似变换对角化
双曲型
（4） （3） （2） （1）
0
u
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -5 0 5 10
x
不同时刻的速度分布（A=1）
0.015 0.01
t=0
x
0.005
t=4
t=3
t=2
t=1
0
利用特征线，分析不同区域的差异 等（均）熵情况下，同族特征线不会相交
-0.005
u
-0.01
1D Euler with initial disturbance u=0.01sin(x)
区域（3）内的计算可简化
利用Riemann不变量得：
2 2 u3 1 c3 u1 1 c1 u 2 c u 2 c 3 3 2 2 1 1
解出 u3 , c3
解出t3时刻的流场，继续推进下个时刻
(3) 区内的波传播速度为常数，且 在传播过程中物理量保持不变—— 简单波 特征线为直线
u 4 u5 c4 c5
在（3）区内， 所有物理量（u,c）沿特征线M不变 特征保持直线，特征波传播速度不变
12
简单波
Copyright by Li XinliLeabharlann Baidung
3. 双曲型方程的间断解 双曲方程的特点： 扰动波传播速度有限 可能产生间断
弱间断： 函数连续，但导数间断 （如稀疏波的波头、波尾） 强间断： 函数本身间断 （如激波、接触间断） 流体力学控制方程： 积分型 （假设函数连续、光滑） 微分型 间断处虽然无法满足微分型方程， 但积分型方程（三大守恒律）仍然满足 例： 激波两侧关系
U U S1 ΛS 0 t x S U U ΛS 0 t x ωk ( S( U U Λ )0 t x
令
1 S ... m
（行向量）
x x( sk ) 满足： dx / dsk k t t ( s ) k t sk
M
（2）
5 4
（4）
（ 1）
x
3
2 2 u5 1 c5 u3 1 c3 u 2 c u 2 c 5 5 2 2 1 1
1
2
由于点1 和点3 均在未扰动区： u1 u2 u0 ; c1 c2 c0
2 2 u 4 1 c4 u5 1 c5 u 2 c u 2 c 4 4 5 5 1 1
u B c 2 /
u
例如，膨胀波
1, 2 u c
c S c
u u c[ t (u c) x ] [ t (u c) x ] 0 u u c[ (u c) ] [ (u c) ] 0 t x t x
R不变
Riemann 不变量 知识点，牢记！
8 Copyright by Li Xinliang
一维均熵流动沿特征线Riemann不变量保持不变
例2.1： 有限振幅波的传播问题
目的： 学会如何运用Riemann不变量解题
A sin x 0 x 2 u ( x,0) 0 others ( x,0) 1; p( x,0) 1
知识点
亚音速入口
超音速出口 亚音速出口
给定2个边界条件
无需给定边界条件 给定1个边界条件
5 Copyright by Li Xinliang
2. 双曲型方程组的特征方程
U U A(U) 0 t x U (u1 , u 2 ,...... u m )T
变系数方程组的情况
令：
A S 1 ΛS
Copyright by Li Xinliang
2
1) 一阶常系数偏微方程组
U U A 0 t x U (u1 , u 2 ,...... u m )T
如果矩阵A 可以被对角化： A S 1 ΛS
U U S1 ΛS 0 t x S U U ΛS 0 t x
第1个方程转化为 则有
令：
Ru
d
c
同理，沿特征线2： 对于等熵完全气体
dx / dt u c
2c R u 1 2c S u 1
du c d 0 沿特征线1： d d u 1 c S d 2 2 保持不变 dR / d
-0.015 -5
0
5
10
x
思考题： 小扰动的传播情况？
不同时刻的速度分布（A=0.01） u( x, t ) 0.005sin(x ct ) 0.005sin(x ct )
9 Copyright by Li Xinliang
A sin x 0 x 2 u ( x,0) 0 others ( x,0) 1; p( x,0) 1
寻找积分因子：
R R( , u )
dR R u R d u
du c d 0 d d
R R c 1; u
沿特征线1： dx / dt u c 有：
d (u c) d t x
x , t 0
（1）
x
若u(x,t)在除有限条间断外连续可微且满足方程（1）； 且在间断线 x (t ) 满足： f f d
u u
dt
则称 u(x,t)是方程（1）的弱解
“间断处满足积分方程”
任意控制体
u f (u ) V t x dxdt 0
U U k )0 t x
U j t k U j x )0
在x-t空间引入曲线：
d dx dt dsk x dsk t dsk
j
kj (
j
kj
dU j dsk
0
（变系数情况）虽然不能解耦，但还能转换成常微方程
6 Copyright by Li Xinliang
11 Copyright by Li Xinliang
区域 （3） 内扰动波的传播特点
t
（3）
考虑 （3）区内的, 同属一条特 征线M 上的任意两个点4 和5：
2 2 u c u c1 4 4 1 1 1 u 2 c u 2 c 4 4 2 2 1 1
对于两自变量情况,可化为：
11
21
u1 u 12 2 0
u1 u 22 2 0
2个常微方程
如果存在积分因子，使得
* du * du dR 111 1 1 12 2
* du * du dS 221 1 2 22 2
计算流体力学讲义
第二讲 双曲型方程组及间断解
李新亮 lixl@imech.ac.cn ；力学所主楼219； 82543801
知识点：
双曲型方程组边界条件提法 双曲型方程的特征方程 双曲型方程的间断解及熵条件 Riemann间断解
讲义、课件上传至 www.cfluid.com (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ”
考虑一维无粘流动（Euler方程），初始时 刻（t=0）流动状态如下：
xa x xb u( x), ( x) u, 0, 0 ( const) others
数值解
1 0.8 0.6 0.4 0.2
t=0
t=1 t=2
试分析t=t0时刻的流动状态 （假设流场 不出现间断） t
3 Copyright by Li Xinliang
双曲方程边界条件提法
U U A 0 t x
v j t
j
v j x
0
j=1
变换成为了彼此独立的n个单波方程
j=2
方法： 独立给定j个方程的边界条件
如果 j>0, 则在左端给定vj的边界条件 如果 j<0, 则在右端给定vj的边界条件
A B
特点： 左、右边界总共给定n个边界条件，各自的个数视特征 值的符号确定
可推广到一般的双曲型方程组
4
Copyright by Li Xinliang
2） 一维Euler方程
U F(U) 0 t x
U ( , u, E )T
A F(U) U
u 2 F(U) u p ( E p)u
A S 1 ΛS
diag(1 , 2 , 3 )
1 u, 2 u c, 3 u c
对于左边界：
条件
u 0 and u 0 and u 0 and u 0 and u c u c u c u c
描述
边界条件设定
超音速入口
给定3个边界条件
则有：
R 0
S 0
R R( )
S S ( )
Riemann不变量
沿特征线： Riemann不变量保持不变
7
Copyright by Li Xinliang
常见情况讨论: 一维等（均）熵运动
U U B 0 t x
矩阵B的特征值
U u
diag(1 , 2 ,...... m )
令： 即：
V SU
有
v j x 0
V V Λ 0 t x
v j t
j
m个方程完全解耦， 可独立求解
x jt 0 有m 条特征线： m个特征相容关系式： v j const.
如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是双曲型的
-0.015 -5
0
5
10
x
一维扰动波的传播 （上： A=1; 下： A=0.01）
10 Copyright by Li Xinliang
基本解题思路： 利用特征关系
t t
dx / dt u c
概念： 简单波
D
3
dx / dt u c
F
（4）
G
E
x 1 2
（3） C （2） （1）
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
t=0
t=1 t=2
u
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -5 0 5 10
x
0.015
0.01
t=0
0.005
t=4
t=3
t=2
t=1
0
-0.005
u
-0.01
1D Euler with initial disturbance u=0.01sin(x)