线性代数第四章(线性方程组的表示,消元法)

1.对AX= β的增广矩阵(A,β)做初等行变换，化为 阶梯型矩阵或更简单的Jordan阶梯型矩阵;
.对AX= 0的系数矩阵A做初等行变换，化为阶梯型 矩阵或更简单的Jordan阶梯型矩阵;
2.求解同解方程组：
若最后一个方程为0=d, d ≠0,则原方程 无解；
若最后一个方程有解，解出部分未知量 并代入前一方程求解
0
xn
有 非 零 解(k2 ,.kn )T 0, 代 入BX 0的 第一个方程：
bx1 b12k2 b1nkn 0,
由 于b 0, 故 可 解 出x1 :
x1 (b12k2 b1nkn ) / b k1
于 是 ：(k1 , k2 ,, kn )T 是AX 0的 一 个 非 零 解 。
0 0
A
初 等 行 变 换
B
0
0
b1 j1
b2 j1
b1n
b2n
0 0
bsj1
bsn
其 中b1 j1
0, 分 别 将B的 第 一 行 的
bij1 b1 j1
倍加到
第i行(i 2,3,, s)行，则
B 初等行变换0
b1 j1 0
B1 C1
C
其 中C1是(s 1) (n j1 )矩 阵, 再 对C的 后 面s 1 行 做 类 似 的 初 等 行 变 换化 简 。 因 为 行 数 是 有 限
2.AX 0;
3.x11 x22 xnn 0;
例1.将
齐
次
线
性
方
程
组2xx2
y y
zt 5t
0
0改
写
成
矩 阵 形 式 和 向 量 形 式.
解：矩阵形式：
x
1 2
2 1
1 0
1 5
y
z
0;
t
向量形式：
1 2 1 1
x 2
y 1
z
0
t
5
0
显 然(0,0,0,0)T 是 方 程 组 的 解 ， 成 为 零解 ，
的
解
，
其
中k1
,
k
是
2
两
个
常
数
。
证
明
：
将k11
k2
代
2
入(1)左
端,
得
A(k11 k22 ) k1 A1 k2 A2
k11 k2 2 右 端
故k11
k22是AX
k11
k2
的
2
解
。
消元法解线性方程组
基本思想：把方程组变成阶梯形，得到能直接 求出解或判断其有无解的同解方程组
观察下面消元法的计算过程，找出求解线性方 程组的本质特征.
x1 2 x2 x3 4
2x2 5x3 1 4 x2 x3 20
2x2 5x3 1
(3)
在(3)中 ， 将 第2个 方 程 得2倍 加 到 第3个 方 程 ， 第2个 方 程 的 1倍 加 到 第4个 方 程 ， 将 第2个 方 程 加 到 第1个 方 程 ， 得
x1
4x3 5
Asn X n1 s1
(4.1)
的系数和常数项按原来的位置构成的s n矩阵
A ( A, )称 为 方 程 组 的 增 广 矩 阵.
命题：线性方程组(4.1)消元后得到的新方程组 与原方程组同解.
证 明： 对 线 性 方 程 组(4.1)消 元 等 价 于 对 其 增 广 矩 阵A ( A, )作 初 等 行 变 换 ， 假 设 变 为C (C , ), 现 证 明 相 应 方 程 组CX 与
1 0
0 1
0 0
8 17
3
0
0
1
13 3
24
原 方 程 组 的 解 为X 0
1 3
17
13
例6.解齐次线性方程组AX 0,其中系数矩阵
1 2 1 1 A 2 4 1 1
3 6 2 0
解 ： 这 是 一 个 四 元 齐 次线 性 方 程 组 ， 由 于 常 数 项全为0，对( A,0)进行初等行变换时，最后一列 不 变 ， 故 只 需 对 系 数 矩阵A化 简 。
反
之,
若X
满
0
足来自百度文库X
0
,用P 1左 乘 等 式 两 端,
得 : P 1CX 0 P 1 , 利 用C PA, P , 有 :
AX 0 .故 两 方 程 同 解.
例4.解 线 性 方 程 组
x1 2 x2 2 x1 2 x
4 2 1
x1 3 x2 6
1 2
解 ：A ( A, ) 2 2
再代入前一方程求解， ……
求出全部解
定义3 (阶梯型矩阵) 称如下形式的s×n矩阵
0 0
a1 j1 0
a2 j2
a1n
a2
n
A 0
0
0
arjr
arn
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
为阶梯型矩阵，其中a1 j1 , a2 j2 ,, arjr 0, j1 j2 jr , A的后s r行全为0，并称 A的 第i行 第 一 个 不 全 为0的 元 数aiji 为 非 零 首 元.
1 2 1 1 1 2 1 1 A 2 4 1 1 0 0 1 3
3 6 2 0 0 0 1 3
1 2 0 2 0 0 1 3 B
0 0 0 0
与原方程组同解的齐次线性方程组BX 0 的一般形式为：
x1
2x2 x3
2x4 3x4
0 0
0 0
或
x1 x3
第四章 向量与线性方程组
$1 线性方程组的表示，消元法
定 义1.称 含 有n个 未 知 量x1 , x2 , xn 的一次方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a..2.1. a s 1
x1 ...
x1
a22 x2 a2n xn b2
........................................ as2 x2 asn xn bs
若 阶 梯 型 矩 阵A的 非 零 行 的 非 零 首 元aiji 全 为1 (i 1,2,, r )， 它 们 所 在 列 的 其 余 元素 全 为0,
则A称为Jordan(约当)阶梯型矩阵.
例如：
1 1 3 1
A 0 1 2
0
0 0 5 1
0 0 0
0
1 4 0 2 0 B 0 0 2 1 0
x1
3
2x2
9
x3 2
0 0
得 ：x1
3,
x2
9 2
,
x3
2
消元法基本操作：
1.互换两个方程的位置；
2.用一非零数c乘某一方程；
3.把其中一个方程的k倍加到另一个方程上。
称以上三种变换为线性方程组的初等变换.
对方程作初等变换其实是对由方程系数和常数 项组成的矩阵作初等行变换.
定义2，设n元线性方程组
ai1c1 ai2c2 aincn bi , (i 1,2,, n)
则 称(4.1)有 解 ， 并 乘 这n个 数 构 成 的 向 量X0 为(4.1)的 一 个 解
X 0 (c1 , c2 ,, cn )T
线性方程组的几种表示方法
设
x1
b1
a1 j
X
x2
,
b2
(4.1)同 解.
因A作 初 等 行 变 换 后 变 为C， 故 存 在 可 逆 阵P
使 : A C P A (PA, P ) (C , )， 得 ： C PA, P ,
如 果X 0是(4.1)的 解,则AX 0 ,用P左 乘 等 式 两 端, 得 PAX 0 P ,即CX 0 .
注：推论1的逆命题不成立，即方程组有非零解， 不能得出未知数个数与方程个数的关系.
例：若非齐次线性方程组AX 中,方程
的 个 数 少 于 未 知 量 的 个数 ， 则 ：
(1,2,5,0)T 是 该 方 程 组 的 一 个 非 零解 ， 方 程 组 的完全解为：
k(1,2,5,0)T l(11,3,0,5)T , k, l R (原 因 ： 后 面 再 讲)
例2.假 设1是AX
的
1
解
，
2是AX
2
的 解 ， 证 明 ：k11 k22是AX k11 k2 2 , (1)
,
j
a2
j
,
(
j
1,2, , n)
xn
bs
asj
A (1 ,2 ,n ), 则(4.1)有 几 种 等 价 形 式
1.矩阵形式: AX ; 2.向 量 形 式: x11 x22 xnn ;
以下三个方程等价：
n
1. aij x j 0, (i 1,2, s) j 1
(4.1)
为n元 线 性 方 程 组 ，s为 方 程 的 个 数 ，aij
（i 1,2,, s, j 1,2,, n)叫 系 数 ，bi （i 1,2,, s)叫 常 数 项 。
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
as1
as2
a sn
叫 系 数 矩 阵 ， 如 果 存 在n个 数c1 , c2 ,, cn满 足 (4.1)， 即
2x3 5x3 1 11x3 22
(4)
0
0
x1
4x3 5
2x3 5x3 1 11x3 22
(4)
0
0
在(4)中 ， 用
1 11
乘 以 第 三 个 方 程, 得x3
2,
再 将x3 2的5倍(5x3 10)与4倍(4x3 8)
分 别 加 到 第2个 和 第1个 方 程 ， 得
由归纳法知结论成立 推论：方程个数少于未知量个数的齐次线性 方程必有非零解
证明: 设AX 0的系数矩阵A为s n矩阵, s n, 在原方程组的后面添加n s个0 0 的 方 程 ， 解 不 变 ， 新 方程 组 的 系 数 矩 阵 为
A
B
0( n s )n
, n
由于s n, 有 | B | 0,由定理1, BX 0有非零 解, 从而AX 0有非零解.
4 1
2(1行 )( 2行 )
1( 1行 ) (3 行 )
1 3 6
1 0 0
2 6 5
4 7
5( 2行 )( 3行 )
6
1 0
2
2 6 0
4
7
47
6
B
以B为 增 广 矩 阵 的 方 程 组 有一 方 程 矛 盾 0 47, 从 而 原 方 程 无 解.
例5.用 消 元 法 解 线 性 方 程 组
充 分 性: (" "),| A | 0, 证AX 0
有 非 零 解,用数学归纳 法。
当A的 阶 数n 1时 ，A 011 ,0x1 0, AX 0有 非 零 解 ； 假 设 当A为n 1阶 矩 阵 时 ， 结 论 成 立 ；
当A为n阶矩阵时, 设A经过初等行变换化为
阶梯型矩阵B :
b
例3.解线性方程组
x1
2 x1
2x2 2x2 4 x2 2x2
5x3 x3 x3 3x3
1 4 20 9
解 ： 将1,2两 个 方 程 交 换 位 置 得
x1 2 x1
2x2 2x2 4x2 2x2
x3 5x3 x3 3x3
4 1 20 9
(1)
(2)
把(2)第 一 个 方 程 的 －2倍 加 到 第 四 个 方 程, 得
的 ， 最 后 总 可 以 化 成 阶梯 型 矩 阵.
命题：任何一个非零矩阵都可以经过初等行变 换化为Jordan阶梯型矩阵.
定理1 设A为n阶方阵，则齐次线性方程组AX=0 有非零解的充分必要条件是|A|=0.
证 明 ： 必 要 性(" ", 反 证 法),设X 0 0满 足AX 0 0. 若 | A | 0,则A可 逆,方 程 组 有 唯 一 解X A1 0 0， 矛 盾 ， 故| A | 0;
2xx11 x1
x2 3x2 2 x2
2x3 4x3
5 1 2
1 1 2 5 1 1 2 5 解：A 2 3 0 1 0 5 4 11
1 2 4 2 0 1 2 3
1 1 2 5 1 0 0 8
0 1 2
3
0
3
6
9
0 0 6 26 0 0 6 26
A B 0
C
PA.
其中C为n 1阶方阵， P为n阶可逆矩阵 , 取行
列式得 | B || P || A | 0 b | C |
解 同 解 方 程 组BX 0。 若b 0,则(1,0,,0)T 是 一 个 非 零 解 ；
若b 0,则| C | 0,由归纳假设,齐次线性方程组
x2
C
0
2x2
2x4 3 x4
0
对 于x2 , x4的 任 何 一 组 值 都 能 解 出x1, x3 , 令x2 k, x4 l, 得
x1 2k 2l, x3 3l
方程组的解为：
2k 2l
X
k
3l
2 2
k
1
l 0
0 3
l
0
l
消元法解线性方程组过程:
0 0 0 0 0
阶梯型矩阵
阶梯型矩阵
1 1 5 C 0 2 9
0 0 3
1 0 0 2
D 0 1 0
1
0 0 1 2
阶梯型矩阵
阶梯型矩阵,Jordan矩阵
引理1. 任何一个非零矩阵都可经初等行变换化 为阶梯型矩阵
证 明 ： 设Asn 0,则A经0次 或1次 交 换 两 行 的 变 换 化 为B， 即