二元一次不等式组与平面区域

课堂练习3
用平面区域表示不等式组 y < -3x+12 的解集。 x<2y
y
12
0 x-2y=0
4
x 3x+y-12=0
求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0 思考：
所围成的平面区域所表示的不等式。
解：此平面区域在x-y=0的右侧， x-y≥0
Y
x-y=0 它又在x+2y-4=0的左侧， x+2y-4≤0 它还在y+2=0的上方， y+2≥0
O
二元一次不等式表示哪个平面区域 的判断方法
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入 Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线的 某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax+By+C的正负即 可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域，C≠0
时，常把原点作为特殊点，当C=0时，常取（1，0）
都不能是负值，于是 x 0 , y 0
x y 2500 （3）抽象出数学模型： 6 x 5 y 150 分配资金应满足的条件： x 0 y 0
回忆、思考
回忆：1、一元一次不等式（组）的解集所表示的
图形—— 数轴上的区间。
x 3 0 如：不等式组 x 4 0
所以，不等式x + 4y – 4 < 0表示的区域 在直线x + 4y – 4 = 0的 左侧如图所示。
x x+4y―4=0
课堂练习1:
(1)画出不等式 4x―3y≤12 表示的平面区域
y
4x―3y-12=0 x x
(2)画出不等式x≥1 表示的平面区域
y
x=1
例2：画出不等式组
x y 5 0 x y 0 x 3
请同学们阅读课本第82-83页，回答 下面问题：
1、二元一次不等式的定义；
2、二元一次不等式组的定义； 3、二元一次不等式（组）的解集是什么?
一、新知探究：
（1）二元一次不等式： 含有两个未知数，并且未知数的最高次数 是1的不等式； （2）二元一次不等式组： 由几个二元一次不等式组成的不等式组； （3）二元一次不等式（组）的解集： 是满足二元一次不等式（组）的有序实数 对（x，y）构成的集合；可以看成是直角坐
x+2y-4=0 o
2
4
则用不等式可表示为:
x
-2 y+2=0
x y 0 x 2 y 4 0 y 2 0
小结：
（1）二元一次不等式Ax + By + C＞0(或<0)在 平面直角坐标系中表示直线Ax + By + C = 0某一 侧 所有点组成的平面区域，（虚线表示区域不 包括边界直线，实线包括边界直线）
或（0,1）作为测试点
结论二 直线定界，特殊点定域。
例1：画出不等式 x + 4y < 4表示 的平面区域
解：画直线x + 4y – 4 = 0（画成虚线） (------直线定界) 取原点（0，0），代入x + 4y - 4， 因为 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0
(-------特殊点定域) y
标系内的点构成的集合。
二、创设情境:
一家银行的信贷部计划年初投入 2500 万元 用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可 带来 3 万元的收益， 其中从企业贷款中获益 12%，从个人贷款中获益 10%。那么，信贷 部该如何分配资金呢？
问题：应该用什么不等式模型来刻画？
二、新知探究：
（1）把实际问题转化为数学问题：
思考：1、当点A与点P有相同 的横坐标时，它们的纵坐标有
y
●A (x,y2)
x–y=6
什么关系？
2、直线x – y = 6左上方点的坐
O
●P (x,y1)
x
标与不等式x – y < 6有什么关系？
3、直线x – y = 6右下方点的坐
标呢？
探究:二元一次不等式（组）的解集表示的图形
y x – y – 6=0 x
（2）当A>0时 ,Ax+By+C>0表示直线右侧区域，
当Ax+By+C<0时表示直线左侧区域。 （3）不等式组表示的平面区域是各不等式 所表示平面区域的公共部分。
课堂作业：.画出下列不等式组表示的平面区域 Y y=x
(1)
y x x 2 y 4 y 2
x+2y=4
探究：二元一次不等式（组）的解集表示的图形
设点P（x，y 1）是直线x – y =6上的点，选取点A（x， y 2），使它的坐标满足不等式x – y < 6
y
●A (x,y2)
x–y=6
O
●P (x,y1)
x
探究 ：
设点P（x，y 1）是直线x – y = 6
上的点，选取点A（x，y 2），使它的
设用于企业贷款的资金为x万元， 用于个人贷款的资金为y万元。 （2）把文字语言转化为符号语言：
由资金总数为 2500 万元得到 x y 2500 由于预计企业贷款创收 12%，个人贷款创收 10%， 共创收 3 万元以上， 所以 12 % x 10 % y 3 即 6 x 5 y 150 最后考虑到用于企业和个人贷款的资金数额
x+y=0
Y
5
表示的平面区域
-5 O
X
x-y+5=0
x=3
注：不等式组表示的平面区域是各不等式
所表示平面区域的公共部分。
课堂练习2：
x 3y 6 0 不等式组 x y 2 0 表示的平面区域是（ B ）
x 3 y 6 0 x y 2 0
结论：在平面直角坐标系中，以
二元一次不等式x – y < 6的解为坐
标的点都在直线x – y = 6的左上方；
O
反过来，直线x – y = 6左上方的点
的坐标都满足不等式x – y < 6。
探究:二元一次不等式（组）的解集表示的图形
不等式x – y > 6表示直线 不等式x – y < 6表示直线 x – y -6=0左侧的平面区域； x – y -6=0右侧的平面区域；
y
A( x , y2 )
x – y =6
坐标满足不等式x – y < 6，请完成
下面的表格
横坐标 x 点 P 的纵坐标 y1 点 A 的纵坐标 y2 –3 –2 –1 0
O
P ( x , y1 )
x
1
2
3
-9 >-9
-8
-7
-6 >-6
-5 >-5
-4
-3
>-8 >-7
>-4 >-3
探究：二元一次不等式（组）的解集表示的图形
直线叫做这两个区域的边界。
从特殊到一般情况：
二元一次不等式Ax + By + C＞0(或<0)在平面直角 坐标系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧 所有点组
成的平面区域，（虚线表示区域不包括边界直线，
实线包括边界直线）
y Ax + By + C = 0 x
结论一
二元一次不等式表示相 应直线的某一侧区域
二元一次不等式（组） 与平面区域
【教学目标】
1．了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一
次不等式组表示平面区域； 2．经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的 过程，提高数学建模的能力； 3．通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提 高数学学习兴趣。
【教学重难点】
用二元一次不等式（组）表示平面区域；
o
2
4
-2
x
y=-2Байду номын сангаас
x 3 2 y x (2) 3 x 2 y 6 3 y x 9
3x+2y=6
3
Y
x-3y+9=0
O 2 3 X
x-2y=0
X=3
连接高考
3 由y≤2及|x|≤y≤|x|+1围成的几何
图形的面积是
.
的解集为数轴上的一个区间。
如图：
●
●
-3 4 2、直线方程的一般形式是什么？
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式 （组）的解集表示什么图形 ？
特殊：二元一次不等式x – y < 6的解集所表示的图形。
作出x – y -6=0的图像是一条直线，
y x x – y -6=0
O
左侧区域
右侧区域
直线把平面分成三部分：直线上的点，直线左侧区域， 直线右侧区域。