第三章中值定理(专升本微积分)

定理2.(二阶充分条件) 设函数f ( x)在点x0二阶可导,且 f ( x0 ) 0,则 (1)当f ( x0 ) 0时, f ( x)在点x0取得极小值,( x0是极小值点); (2)当f ( x0 ) 0时, f ( x)在点x0取得极大值.
二阶充分条件只能判定驻点是否为极值点, 一阶充分条 件既可判定驻点, 也可判定不可导点是否为极值点.
( x x0
x x0 )
注：当x （或x ）时，不能同时有水平 渐
近线和垂直渐近线
例1.求 曲线 解： lim
x x
f (x x2 2 1
) 1
x
x2 的水平、 垂直渐近线
2 1 所以 y 1 是水平渐近线。
x2
x2
lim
x1
f
(x)
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lim
x1
x2
1
; lim x1
x2
1
x 1, x 1是两条铅直渐近线
若f(x)在[a,b]上单增，则最大（小）值一定
在右（左）端点取得；若f(x)在[a,b]上单减，
则最大（小）值一定在左（右）端点取得。
注2：若 则f该(x极)在大(（a,小b)）内值有点唯也一是的最极大大（（小小））值值点点。，
4.成本、收益、利润问题
(1) 总成本函数
总成本函数是由固定成本和变动成本两部分构成的，设
第三章 中值定理及导数应用
一、基本概念及结论
1.三个基本定理 10罗尔定理: 设函数f ( x)满足条件
(1)在闭区间[a, b]上连续; (2)在开区间(a, b)上可导; (3) f (a) f (b)
则在(a, b)内至少存在一点 ,使f ( ) 0
20拉格朗日中值定理: 设函数f ( x)满足条件 (1)在闭区间[a, b]上连续; (2)在开区间(a, b)内可导;
30 柯西中值定理: 设函数f ( x), g( x)满足条件 (1)在[a, b]上连续; (2)在(a, b)内, f ( x), g( x)均存在,且g( x) 0,则 在(a, b)
内至少存在一点 ,使
f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g( )
2.函数的增、减、极值
于零的点或二阶导数不存在的点处,反之不然。这 样的点处有无拐点，取决于该点的的左、右二阶导 数是否异号。
6.曲线的渐近线
（1）水平渐近线 ：
如果，lim f ( x) A,则y A是曲线的水平渐近线 x ( x x) （2）垂直渐线：
如果 lim x x0
f ( x) ,则x x0是曲线的垂直渐近线
3.函数 f ( x)在闭区间 [a,b上] 的最值
设函数f(x)在[a,b]上的所有可能极值点（驻点或
不可导点）为 x1, x2 , xn ,
对x [a,b],max f (x) max{f (a), f (x1) f (x2 ), f (xn ), f (b)}; min f (x) min{ f (a), f (x1), f (xn ), f (b)} 注1：
(3).极值存在的一阶、二阶充分条件
定理1.(一阶充分条件) 设函数f ( x)在点x0的某邻域 内有定义,可 导,且f ( x0 ) 0,或f ( x0 )不存在,当x渐 增 地经 过x0时,导 数由 正变 负,则 在点x0取 得极 大值 ( x0为极大值点, f ( x0 )为极大值);如 果f ( x)由负变 正, 则 在 点x0取 得 极 小 值.
（1）函数f(x)在其定义区间X上的增减（单调）性
有以下四种：
单增:f (x) 0( 0) 允许个别点取等号
单减：f (x) 0( 0) 允许个别点取等号
有增有减 ： f (x) 有正有负
不增不减 : f ( x) 0
*f (x)＞0是f(x)单增的充分条件而非必要条件
(2)函数的极值点必定是驻点或不可导点，反之不然， 但可导函数的极值点一定是驻点
则在(a, b)内至少存在一点 ,使f ( ) f (b) f (a)
ba
推论1：如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续， 且在开区间(a,b)内恒有f '(x) 0,则f (x)在闭 区间[a, b]上恒为常数
推论2：如果函数f ( x)与g( x)在闭区间[a, b]上连续，且 在开区间（a, b）内恒有f ( x) g( x)，则f ( x)在闭区 间[a, b]上恒有: f ( x) g( x) c (c为常数)
(2)总收益函数：R(Q) p Q Qf (Q)
平均收益： R(Q) R(Q) P f (Q) Q
边际收益： R(Q), R(Q) Q R(t )dt 0
(3)总利润函数：L(Q) R(Q) C(Q)
(售后利润）
边际利润： L(Q) R(Q) C(Q),
Q
L总(Q) 0 L(t)dt C0
最大利润原则：在 Q0 处取得最大利润的
必要条件是： L(Q) 0 R(Q0 ) C(Q0 ) 充分条件是： L(Q) 0 R(Q0 ) C(Q0 )
税后利润： L(Q) R(Q) C(Q) tQ
（其中 t 为税率）
5.曲线的凹向与拐点
（1）y=f(x)的图形在定义区间X上的凹向有以下
四种：
上凹：f ( x) 0( 0等号在个别点成立)
下凹：f ( x) 0( 0等号在个别点成立 )
有上凹也有下凹： f (x)有正有负 既不上凹也不下凹： f ( x) 0
(2)曲线上凹与下凹的分界点( x0 , f ( x0 ))称为拐点,拐点 不同于极值点,它是曲线上的点.
曲线f(x)的拐点 (x0 , f (x0 )) 必存在于二阶导数等
例2.求曲线y ln(3 e )的渐近线 x
解：
e
e
lim ln(3 ) , lim ln(3 )
x0
x
x( e )
x
3
y ln(3 e ) 有两条垂直渐近线 x
C为总成本, C0 为固定成本，C1 为变动成本，Q 为产
量，则
1 总成本函数：C C(Q) C0 C1(Q)
C0
C(Q) Q0
2 平均成本： C C(Q) ,C(Q) C Q
Q
3 边际成本：
Q
C(Q) C1(Q), C(Q) 0 C(t )dt C0
注:总成本、平均成本、边际成本已知其一，可求 其二.