分式的性质与运算

分式的性质与运算

分式的基本概念和性质

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1．分式的基本概念：

!

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【例1】 ⑴代数式1312,,,,

34

a b m n

b x a π+-+中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个

D ．4个

<

⑵ 当x = 时，分式

2x x +有意义；当x 时，分式21

1

x +有意义．

⑶当x 为何值时，下列分式的值为0

①213x x -+ ②()()661x x x --+ ③()()216

41x x x -+- ④288x x + ⑤()22

255x x --

⑷当x 时，分式233x x

--的值为1；如果分式1

21x x -+的值为1-，则x 的值是

．

；

⑸当x 时，分式48x

-的值为正数；当 时，分式48x

x --的值为负数．

【例2】 ⑴ 当x 取何值时，分式11

x x

-

有意义

⑵ 使代数式32

34

x x x x ++÷

--有意义的x 值是 ．

—

⑶若不论x 为何值，分式

2

1

2x x c

++总有意义，则c ．

经典例题

：

分式的基本运算

注：零指数幂及负整数指数幂都属于分式．

【例3】~

【例4】⑴计算：()22

2

2

2

x xy y x y

xy x

xy x

-+-

-÷；

⑵计算：

2

21

11

x

x x

-

--

；

《

⑶计算：

22

12

239

a a

a a a a

-

+÷

---

；

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经典例题

⑷计算:2233x y x y

x y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷

⎪⎢⎥+⎝⎭⎣

⎦;

⑸计算：()22

221031525965a a a a a a

-+÷--+-． ！

【例5】 ⑴先化简：22

211a a a a a a --⎛

⎫-÷ ⎪+⎝

⎭，然后给a 选择一个你喜欢的数代入求值．

<

⑵已知：2

380x x +-=，求代数式21441

212

x x x x x x -+--

-++的值．

！

【例6】 化简：2

222222

2112

22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-⎛⎫+÷+⎢⎥ ⎪++-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦

（

【例7】 化简22

3223322322224

4

113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b

+++--+++-+--+-．

—

分式的拆分

分式计算技巧--------分式的拆分 】

分式拆分的基本模型11

a b ab a b

+=+，这种模型在计算中运用十分广泛。而复杂的题型通常将

这种形式包容在其中。如：()()b c

a b a c ---初看不符合基本模型，若对分子稍加变形则马上出

现基本模型。()()b c a c a b -=---所以原式变为()()()()11

a c a

b a b a

c a b c a

---=+

----

【例8】 ⑴化简：

222111

3256712

x x x x x x ++

++++++；

]

⑵化简：222222

b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a

---++---

--+--+--+---．

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经典例题

⑶已知,,a b c 为实数，且111,,345ab ab ca a b b c c a ===+++，那么

abc

ab bc ca

++的值为 ．

/

【例9】 仿照例子解题：

例子：若2

15111

M N x

x x x -+=+--恒成立，求M N 、的值． 解题过程如下： 2

15111

M N x

x x x -+=+--， ()()1115M x N x x ∴-++=-，

则15Mx M Nx N x -++=-， 即51Mx Nx N M x ++-=-+，

"

51M N N M +=-⎧∴⎨-=⎩

解得：32M N =-⎧⎨=-⎩

请你按照上面的方法解题： 若

2

8

224

M N x x x x --=+--恒成立，求M N 、的值．

:

【例10】 已知()()

237231111x x A B

x x x x -+=++-+-+，其中A B 、为常数，求42A B -的值．