高三数学课件：点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
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点与圆、直线与圆、圆与圆的 位置关系
一、基础知识 1、 若圆(x-a)2+(y-b) 2=r2，那么点(x0,y0)在
圆上 x0 a y0 b r 2 2 2 圆内 x0 a y0 b r 圆外 x a 2 y b2 r 2 0 0
l 但不含C2 。 1时，: D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0
二、题型剖析
例1、(优化 设计 P114例 1) 已知圆x2+y2+x6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点，O 为原点，且OPOQ，求该圆的圆心坐标及 半径。 【思维点拨】这是用韦达定理解题的典型 题，在以后的圆锥曲线中也有同类型题， 注意＞０的检验
一般宜用几何法。
3、弦长与切线方程，切线长的求法
（1）弦长求法一般采用几何法：弦心距d， 2 圆半径r，弦长l，则 l 2 2 (3) 改写圆方程写出圆的切线方程：以(x0,y0) 为切点的圆的切线方程，分别以x0 x , y0 y,
d r 2
特殊地: 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0) 的圆的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
2 2
2
2、直线与圆的位置关系
直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。 有两种判断方法： 0 相交 (1) 代数法（判别式法） 0 相切 0 相离
d r 相交 (2) 几何法，圆心到直线的距离 d r 相切 d r 相离
y .P
【思维点拨】两圆 方程相减得公共弦 直线方程
A
O
B
x
例4、已知两个圆C1 ：x2+y2=4，C2 ：x2+y2-2x4y+4=0，直线L:x+2y=0，求经过C1和C2的交点 且和L相切的圆的方程。
【评述】利用过两圆交点的圆系方程求解
练习4： 过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0 的交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆方程是( C )
练习3：把直线 x 2 y 0 向左平移1个单位， 再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆 x2+y2+2x-4y=0相切，则实数的值为（ A ） A、3或13 D、-3或-13 B、-3或13 C、3或-13
例3、过圆x2+y2=r2(r>0)外一点P(x0,y0)作圆的 两条切线，切点分别为A、B，证明直线AB 的方程是x0x+y0y=r2
练习1：若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则 点P(a,b)的位置是（ B ）
A、在圆上 B、在圆外 内 D、都有可能 C、在圆
练 习 2 ： 过 点 （ 2 ， 1 ） 的 直 线 中 ， 被 x2+y22x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是（A） A、3x-y-5=0 B、 3x+y-7=0
x 0 a 2 y 0 b 2 r 2
4、圆与圆的位置关系
O1O2 r1 r2 相离
O1O2 r1 r2 内切
O1O2 r1 r2 外切
O1O2 r1 r2 内含
5、圆系方程
（1）以(a,b)为圆心的圆系方程：
x a y b
x0 x y 0 y , 2 2
改写圆方程中的x2，y2, x , y
(4) 切线长 过圆外一点 P( x0 , y0 ) 引圆： x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 或 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线 ,则切线长：
d
2 2 x 0 y 0 Dx 0 Ey 0 F
(A)x2+y2+x-5y+2=0 (C)x2+y2-x+7y-32=0 (B)x2+y2-x-5y-2=0 (D)x2+y2+x+7y+32=0
备用题：
例5 已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直 线L交x轴、 y轴于A、B两点, O为原点, 且 |OA|=a, |OB|=b (a>2,b>2) （1）求证曲线C与直线L相切的条件是 (a-2)(b-2)=2 (2) 求线段AB中点的轨迹方程 (3)求Δ AOB面积的最小值.
2
2 2Fra Baidu bibliotek
2
r 2 r 0
（2）过两圆 C1 : x y D1 x E1 y F1 0 C2 : x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0 和 的交点的圆系方程： 2 2 2 2 x y D1 x E1 y F1 x y D2 x E2 y F2 0 为两圆公共弦所在直线方程，其中当两圆相 切时，L为过两圆公共切点所在直线的方程。
C、 x+3y-5=0
D、x-3y+1=0
( 例2、(优化设计P114例1)已知圆C： x 1) ( y 2) 25,
2 2
直线.
l : (2m 1) x (m 1) y 7m 4 0(m R)
（1）证明不论m取什么实数，直线与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦最小时的方程. 【思维点拨】用直线系方程求点。 若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过 定点，通常采用有分离系数法： 即将原方程改变成：f(x, y)+mg(x,y)=0的形式， 此式的成立与m的取值无关，从而解出定点。
三、小结 1.有关直线与圆的位置关系，一般要用圆心到 直线的距离与半径的大小来确定。 2.弦长计算问题要用直角三角形。 3．直线系，圆系的应用 四、【布置作业】 优化设计P115
一、基础知识 1、 若圆(x-a)2+(y-b) 2=r2，那么点(x0,y0)在
圆上 x0 a y0 b r 2 2 2 圆内 x0 a y0 b r 圆外 x a 2 y b2 r 2 0 0
l 但不含C2 。 1时，: D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0
二、题型剖析
例1、(优化 设计 P114例 1) 已知圆x2+y2+x6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点，O 为原点，且OPOQ，求该圆的圆心坐标及 半径。 【思维点拨】这是用韦达定理解题的典型 题，在以后的圆锥曲线中也有同类型题， 注意＞０的检验
一般宜用几何法。
3、弦长与切线方程，切线长的求法
（1）弦长求法一般采用几何法：弦心距d， 2 圆半径r，弦长l，则 l 2 2 (3) 改写圆方程写出圆的切线方程：以(x0,y0) 为切点的圆的切线方程，分别以x0 x , y0 y,
d r 2
特殊地: 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0) 的圆的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
2 2
2
2、直线与圆的位置关系
直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。 有两种判断方法： 0 相交 (1) 代数法（判别式法） 0 相切 0 相离
d r 相交 (2) 几何法，圆心到直线的距离 d r 相切 d r 相离
y .P
【思维点拨】两圆 方程相减得公共弦 直线方程
A
O
B
x
例4、已知两个圆C1 ：x2+y2=4，C2 ：x2+y2-2x4y+4=0，直线L:x+2y=0，求经过C1和C2的交点 且和L相切的圆的方程。
【评述】利用过两圆交点的圆系方程求解
练习4： 过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0 的交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆方程是( C )
练习3：把直线 x 2 y 0 向左平移1个单位， 再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆 x2+y2+2x-4y=0相切，则实数的值为（ A ） A、3或13 D、-3或-13 B、-3或13 C、3或-13
例3、过圆x2+y2=r2(r>0)外一点P(x0,y0)作圆的 两条切线，切点分别为A、B，证明直线AB 的方程是x0x+y0y=r2
练习1：若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则 点P(a,b)的位置是（ B ）
A、在圆上 B、在圆外 内 D、都有可能 C、在圆
练 习 2 ： 过 点 （ 2 ， 1 ） 的 直 线 中 ， 被 x2+y22x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是（A） A、3x-y-5=0 B、 3x+y-7=0
x 0 a 2 y 0 b 2 r 2
4、圆与圆的位置关系
O1O2 r1 r2 相离
O1O2 r1 r2 内切
O1O2 r1 r2 外切
O1O2 r1 r2 内含
5、圆系方程
（1）以(a,b)为圆心的圆系方程：
x a y b
x0 x y 0 y , 2 2
改写圆方程中的x2，y2, x , y
(4) 切线长 过圆外一点 P( x0 , y0 ) 引圆： x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 或 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线 ,则切线长：
d
2 2 x 0 y 0 Dx 0 Ey 0 F
(A)x2+y2+x-5y+2=0 (C)x2+y2-x+7y-32=0 (B)x2+y2-x-5y-2=0 (D)x2+y2+x+7y+32=0
备用题：
例5 已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直 线L交x轴、 y轴于A、B两点, O为原点, 且 |OA|=a, |OB|=b (a>2,b>2) （1）求证曲线C与直线L相切的条件是 (a-2)(b-2)=2 (2) 求线段AB中点的轨迹方程 (3)求Δ AOB面积的最小值.
2
2 2Fra Baidu bibliotek
2
r 2 r 0
（2）过两圆 C1 : x y D1 x E1 y F1 0 C2 : x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0 和 的交点的圆系方程： 2 2 2 2 x y D1 x E1 y F1 x y D2 x E2 y F2 0 为两圆公共弦所在直线方程，其中当两圆相 切时，L为过两圆公共切点所在直线的方程。
C、 x+3y-5=0
D、x-3y+1=0
( 例2、(优化设计P114例1)已知圆C： x 1) ( y 2) 25,
2 2
直线.
l : (2m 1) x (m 1) y 7m 4 0(m R)
（1）证明不论m取什么实数，直线与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦最小时的方程. 【思维点拨】用直线系方程求点。 若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过 定点，通常采用有分离系数法： 即将原方程改变成：f(x, y)+mg(x,y)=0的形式， 此式的成立与m的取值无关，从而解出定点。
三、小结 1.有关直线与圆的位置关系，一般要用圆心到 直线的距离与半径的大小来确定。 2.弦长计算问题要用直角三角形。 3．直线系，圆系的应用 四、【布置作业】 优化设计P115