1 第一型曲线积分解析

一．第一型曲线积分的定义 二．第一型曲线积分的计算
一．第一型曲线积分的定义
1.引例: 曲线形构件的质量
B
假设曲线形细长构件在空间所占
弧段为AB , 其线密度为 为计算此构件的质量, 采用
(k ,k , k )
Mk M skk1
“分割，近似，求和，取极限”
n
可得 M
A
k 1
设某物体的密度函数 f (P) 是定义在 上的连续函
每一小段 i的质量可近似地等于f (Pi )i , 其中i 为小曲线段 i 的长度.
于是在整个上的质量就近似地等于和式
n
f (Pi )i .
i 1
(3)
当对
的分割越来越细密(即 d

max
1i n
i

0)
时, 上述和式的极限就应是该物体的质量.
定义1 设 L 为平面上可求长度的曲线段, f ( x, y) 为
n
lim
||T||0 i1
f (i , i )si
J,
且J 的值与分割 T 与点 (i , i ) 的取法无关, 则称此
极限为 f ( x, y) 在 L 上的第一型曲线积分, 记作
L f ( x, y)ds.
若 L为空间可求长曲线段 , f ( x, y, z) 为定义在 L上 的函数, 则可类似地定义 f ( x, y, z)在空间曲线 L 上 的第一型曲线积分, 并且记作
解
yds
2
y
1
y2 dy
L
0
4

2 2 (1
y
2
)
3 2
2
3
40
4 (2 2 1). 3
Ag g
例3. 计算曲线积分
线
解: (x2 y2 z2 ) ds
其中 为螺旋
的一段弧.
a2 k 2 2π[a2 k 2t 2]d t 0
2 π a2 k 2 (3a2 4 π 2k 2 ) 3
解
I y L
x2 y 1 x2
ds
2 1
x2 ln x 1 x2
1 1 x2 dx

2
1
x
ln
xdx

ln
4

3 4
.
例7. 计算半径为R ,中心角为
的圆弧 L 对于它的对
称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1).
解: 建立坐标系如图, 则
y
I y2 ds L
L
:
x

i

ti
.
设
n
f (( i), ( i))[ 2( i) 2( i) 2( i) 2( i)]ti , i 1
则有
n
f (i , i )si
i 1
n

f ( ( i), ( i))
0

t

π,
试计算第一型曲线积分 ( x2 y2 )ds. L
提示.
( x2 y2 )ds π a2 a2(cos2 t sin2 t )dt a3π.
L
0
解
例2.设 L 是 y2 4x 从 O(0,0) 到 A(1,2) 一段,
试计算第一型曲线积分 L yds.
L
a
注3： 当曲线 L由方程 x ( y), y [c,d] 表示, 且( y)在
[c, d ]上有连续导函数时, (1)式成为
f ( x, y)ds
d
f (( y), y)
1 2( y)dy.
L
c
例1. 设L 是半圆周
L
:

x y

a cos t, a sin t,
原式 =12 ( x2 y2 )ds 12 ds 12a
L4 3
L
分析: 2xy ds 2xy ds 2xyds
L
L上
L下
2x
2x( )
例5. 计算
其中 为球面
被平面
所截的圆周.
解: 由对称性可知 x2 ds y2 ds z2 ds
(2) f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds

1
2
(由
组成)
( l 为曲线弧 的长度)
二． 第一型曲线积分的计算
定理1 ：设有光滑曲线
L
:

x y

(t (t
), ),
t
[
,

],
f ( x, y)为定义在 L 上的连续函数, 则
2π
cos t d t 0
0
a
a2 k2
2π
sin t d t
0
0
k
a2 k2
2π
tdt
2π2k
0
a2 k2
故质心坐标为 ( 0, 0, k π )
内容小结
1. 定义 f (x, y) ds L
f (x, y, z)ds
2. 性质
(1) f (x, y, z) g(x, y, z) ds g(x, y, z)ds (, 为常数)



x2 ds 1 (x2 y2 z2 ) ds

3
1 a2 ds 1 a22 π a
3
3
2 πa3 3
思考: 例5中 改为
, 如何
计算
解: 令
X x 1 Y y 1 , Z z
则

:

X
2
Y2 Z2 X Y Z

y

R cos R sin
( )
O

L Rx
R2 sin 2 (R sin )2 (R cos )2d

R3 sin 2
d

2
R3

2
sin 2
4
0
R3( sin cos )
例8. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为
si 2( i) 2( i)ti (ti1 i ti ).
所以
n
f (i , i )si
i 1
n
f ( ( i), ( i)) 2( i) 2( i)ti , i 1
这里
t i 1


i,

f ((t), (t),(t))
2(t) 2(t) 2(t)dt.

注2：当曲线 L 由方程 y ( x), x [a,b]表示, 且 ( x)在
[a, b] 上有连续的导函数时, (1)式成为
f ( x, y)ds
b
f ( x, ( x))
1 2( x)dx;
2 (
i)

2 (

i
)ti


.
(2)
i 1
令 t max{t1,t2 ,L ,tn }, 则当 T 0 时, 必有
t 0. 现在证明 lim 0. t 0
因为复合函数 f ((t), (t)) 关于 t 连续, 所以在闭区
间 [ , ]上有界, 即存在常数 M , 使对一切 t [ , ]
数, 当 是直线段时, 应用定积分就能计算得该物体
的质量.
现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线
段时物体的质量的计算问题.
(1) 分割：把 分成 n 个可求长度的小曲线段 i
(i 1, 2, L , n).
(2) 近似求和：在每一个 i 上任取一点 Pi . 由于
f (P) 为上的连续函数, 故当 i的弧长都很小时,
f ( x, y)ds

f ((t), (t))
2(t) 2(t)dt. (1)
L

证： 由弧长公式知道, L上由 t ti1 到 t ti 的弧长
si
ti ti 1
2(t ) 2(t )dt.
由 2(t) 2(t) 的连续性与积分中值定理, 有
都有
| f ((t), (t)) | M .
再由 2(t) 2(t) 在 [ , ]上连续, 所以它在
[ , ]上一致连续, 即对任给的 0, 必存在 0, 使当 t 时,
2( i) 2( i)

2
(

i
)



2
(2) f (x, y, z)ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds

1
2
(3) ds l ( l 曲线弧 的长度) ( 由1, 2 组成)
3. 计算
• 对光滑曲线弧
L
f (x, y) ds



f [ (t ),
(t )]
定义在 L 上的函数. 对曲线 L 做分割 T ,它把 L分成
n个可求长度的小曲线段 Li (i 1, 2, L , n), Li 的弧长
记为si , 分割 T 的细度为 || T || max si , 在 Li上任取
1i n
一点 (i ,i ) (i 1, 2, L , n). 若有极限
2(t) 2(t)dt.
a
因此当在(2)式两边取极限后, 即得所要证的(3)式.
注1：仿照定理1, 对于空间曲线积分, 当曲线 L 由参 量方程 x (t), y (t), z (t),t [, ]表示时, 其计算公式为:
L f ( x, y, z)ds


y L y (x, y)ds L (x, y)ds
曲线状物体对于 x , y 轴的转动惯量分别为
Ix
y2( x, y)ds
L
I y
x2( x, y)ds
L
例6. 求线密度为 ( x, y) y 的曲线段
1 x2
L : y ln x,1 x 2
对于 y 轴的转动惯量.
练习.
设
C
是由极坐标系下曲线
r

a,

0
及
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π 4
所围区域的边界, 求
y yx ra
提示: 分段积分
π 4
O y0 a x
例4. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
解: 在极坐标系下
y
它在第一象限部分为
L1 : r a cos 2
曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分曲面积分 积分域 区 间 平面域 空间域 曲线弧 曲面域
第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） 曲线积分
第二型曲线积分（对坐标的曲线积分） 第一型曲面积分（对面积的曲面积分） 曲面积分 第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）
§1 第一型曲线积分
本节将研究定义在平面或空间曲线 段上的第一型曲线积分.此类积分的典 型物理背景是求非均匀分布的曲线状 物体的质量.

a2 0
( X 1)2 ds
利用质心公式
2 X ds
2 πa3 2 X 2πa 3
圆 的质心
在原点, 故
X 0
注： 由第一型曲线积分的 定义, 线密度为 ( x, y)的
曲线状物体的质心坐标：
x L x (x, y)ds L (x, y)ds
L f ( x, y, z)ds.
如果 L 是闭曲线 , 则记为
ÑL f ( x, y, z)ds.
2.积分性质
(1) f (x, y, z) g(x, y, z)ds
f (x, y, z) ds g(x, y, z) ds
（, 为常数)
(

i
)
,
从而
n
| | M ti M (b a), i 1
所以 lim 0. t 0
再由定积分定义
n
lim
t0 i1
f ( ( i), ( i))
2( i) 2( i)ti

b
f ((t), (t))
(0



π 4
)
O
x
利用对称性 , 得
π
4 4 r cos
r 2 ( ) r2 ( ) d
0
4
π 4
a2
cos
d
0
练习. 已知椭圆 L : x2 y2 1 周长为a , 求 43
y
(2xy 3x2 4y2 ) ds
L
3
2 O 2x
提示: 利用对称性 2xy ds 0 L
2 (t ) 2 (t ) d t
• 对光滑曲线弧
b
f (x, y)ds f (x, (x) )
(1) 求它关于 z 轴的转动惯量 I z ;
(2) 求它的质心 .
解: 设其密度为 ρ (常数).
(1)
Iz L(x2 y2) ds
2π a2
0
2π a2 a2 k2
a2 k2 dt
(2) L的质量 m L ds 2 π a2 k 2
而
a a2 k 2