§11.3连续映射的性质

§11.3 连续映射的性质
一、紧集上的连续映射 上一节关于连续映射的定义是：
“定义11.2.4' 设D 是n R 上的开集，0x D ∈为一定点，f 是从D 到
m R 上的映射（向量值函数）。

如果
()()0
0lim x x f x f x →=，
则称映射f 在点0x 连续。

用“εδ-”语言来说就是：
若对()000,x o x εδδ>>∈任给的，存在，使得当时，成立
()()0f x f x ε-<（即()()()0,f x o f x ε∈）
则称f 在点0x 连续。

如果映射f 在D 上每一点都连续，就称f 在D 上连续。

这时称映射f 为D 上的连续映射。

”
现在将上述定义中的“D 是开集”推广到n R 上任意点集。

定义11.3.1 设点集n K R ⊂，0x K ∈为一定点，f 是从K 到m R 上的映射（向量值函数）。

若()000,x o x K εδδ>>∈ 任给，存在，使得当时，成立
()()0f x f x ε-<（即()()()0,f x o f x ε∈）
则称f 在点0x 连续。

如果映射f 在点集K 上每一点都连续，就称f 在K 上连续。

这时称映射f 为K 上的连续映射。

也就说，当0x 是K 的内点时，这就是原来的定义11.2.4'；当0x 是K
的边界点时，只要求函数在0x 的δ领域中属于K 的那些点（即()0,x o x K
δ∈ ）满足不等式()()0f x f x ε-<。

对于一元函数，我们已经讨论了闭区间上的连续函数的性质（有界性、最值性、介值性和一致连续性）。

闭区间上是一维空间中的有界闭集，顺理成章地，在讨论n 维空间n R 上的连续函数的性质时，也应该要求函数的定义域是n R 中的有界闭集，即紧集。

这样，一元函数在闭区间上的性质就可以拓展到多元函数，这也是引进紧集概念的一个原因。

下面先给出紧集上的连续映射的一个重要性质。

定理11.3.1 连续映射将紧集映射成紧集。

证：设K 是n R 中的紧集，:m f K R →为连续映射。

要证明K 的像集（值域）
()(){}
,M f K y R y f x x K =∈=∈
是紧集，根据定理11.1.10 (S 是紧集⇔S 的任一无限子集都有属于S 的聚点)，只要证明()f K 中的任意一个无限点集必有聚点属于()f K 即可。

因为每一个无限点集都有可列的无限子集（即点列），所以只要证明像集()f K 中的任意一个点列必有聚点属于()f K 即可。

设{}k y 为像集()f K 中的任意一个点列。

对于每个k y ，任取一个满足()k k f x y =的()1,2,k x K k ∈= ，则{}k x 为紧集K 中的点列，所以它必有聚点属于K ，即存在{}k x 的子列{}
l k x 满足
lim l k l x a K →∞
=∈。

再由f 在a 点的连续性得
()
()lim lim l l k k l l y f x f a →∞
→∞
==，
即()f a 是{}k y 的一个聚点，因为a K ∈，所以()()f a f K ∈。

因此()f K 是紧集。

#
按照这个定理，如果()f x 是n R 中紧集K 的连续函数（:f K R →）， 那么K 的像集()f K （数集）是R 中的紧集，因此是有界闭集，进而()f K 存在最大数和最小数。

于是就可得到以下紧集上多元函数的两个重要性质：
定理11.3.2（有界性）若K 是n R 中的紧集，f 是K 上的连续函数，则f 在K 上有界。

定理11.3.3（最值性）若K 是n R 中的紧集，f 是K 上的连续函数，则f 在K 上能取得最大值和最小值，即存12,K ξξ∈，使得对一切x K ∈成立
()()()12f f x f ξξ≤≤。

二、映射的一致连续性
定义11.3.2 设K 是n R 中的点集，:m f K R →为映射。

如果对任给的>0ε，存在>0δ，使得对任意,x x K '''∈，x x δ
'''-<，都有
()()f x f x ε'''-<，
则称映射f 在点集K 上一致连续。

显然，若映射f 在点集K 上一致连续，则f 必在K 上连续，但反之不然。

不过下面的定理11.3.4告诉我们，在紧集上的连续映射一定是一致连续的映射。

定理11.3.4 设K 是n R 中的紧集，:m f K R →为连续映射，则f 在
K 上一致连续。

证：对任意给定的>0ε，由于f 在K 上连续，因此对任意K α∈，存在>0αδ，使得对任意x K ∈，只要(),x αραδ<（即(),x o K ααδ∈ ），就有
()()2
f x f ε
α-<。

显然所有这样的领域(),o ααδ之集(){}
,o K ααδα∈是K 的一个开覆盖。

由于K 是紧集，因此在(){}
,o K ααδα∈中必存有限个开集
()()
()
1212,,,,,,p p o o o ααααδαδαδ
覆盖了K （即对任意x K ∈，必存在1t p ≤≤，使()
,t t x o ααδ∈）。

记{}
11
min 2j a j p
δδ≤≤=，则对任意,x x K '''∈，x x δ'''-<，不妨设 x '∈
(
)2
,
t
t o αδα（1t p ≤≤）
，这时 2
2
t t
t
t t t x x x x x x x αααδδαααδ''''''''''-=-+-≤-+-<+
=，
从而
()()()()()()2
2
t t f x f x f x f f f x ε
ε
ααε''''''-≤-+-<+
=。

因此f 在K 上一致连续。

#
三、连通集与连通集上的连续映射
设()000
012,,,n x x x x = ，()000012,,,n n y y y y R =∈ ，称点集
()()[]{}0
10,1l t x t y t =
-+∈
为n R 中连结点0x 与点0y 的直线段。

一般地，设γ是闭区间[]0,1到n R 的连续映射
[]:0,1n R γ→
()12,,,n t x x x x =
即定义在[]0,1的连续函数组
()()()[]1122,
,
0,1,,
n n x x t x x t t x x t ⎧=⎪
=⎪∈⎨
⎪⎪=⎩ ， 若满足
()()()()1
2
0,0,,0n
x x x x
= ，()()()()1201,1,,1n x x x y = ，
则称值域
[]()()()()[]{}
120,1,,,0,1n x t x t x t t γ=∈
为n R 上连接点0x 与点0y 的连续曲线。

设S 是n R 中的点集，若上述的连续曲线全部落在S 中，即
[]0,1S γ⊂，则称连续曲线γ为点集S 中的道路，()0γ与()1γ分别称为
道路的起点与终点。

若S 中的任意两点,x y 之间，都存在以x 为起点，y 为终点的道路，则称点集S 为连通的，或称S 为连通集。

显然，实数集R 上的连通集S 必是区间，而且S 为紧集的充分必要条件是：S 为闭区间。

连通的开集称为开区域，简称区域。

区域的闭包称为闭区域。

定理11.3.5 连续映射将连通集映射成连通集。

证：设D 是n R 中的连通集，:m f D R →为连续映射，现证明f 的像集（即值域）
()(){}
,m f D y R y f x x D =∈=∈
是连通集，即要证明对于()f D 中的任意两点y '与y ''之间，都存在以y '为起点，y ''为终点的道路。

设()y f x ''=，()y f x ''''=，,x x D '''∈，由于D 是连通的，所以存在连续映射
[]:0,1D γ→，
使得()()01x x γγ'''==，。

于是对于连续（复合）映射f γ 来说，有
[]()()0,1f f D γ⊂，
且()()()0f f x y γ''==，()()()1f f x y γ''''==。

这说明[]()0,1f γ就是
()f D 中以y '为起点，y ''为终点的道路。

再由(),y y f D '''∈的任意性即知()f D 是连通集。

#
注意到，对于连续映射:m f D R →，当1m =时，它就是n 元连续函数()12,,,n y f x x x = ，()12,,,n n x x x D R ∈⊂ 。

而我们知道，R 上的连通集必是区间，而R 上的连通紧集就是闭区间。

于是有下面的推论。

推论11.3.1 连续函数将连通的紧集映射成闭区间。

由这个推论便得到类似于闭区间上连续函数的介值性定理：
定理11.3.6（介值定理）设n
⊂是连通的紧集，f是D上的连
D R
续函数。

则f可以取到它在D上的最小值m与最大值M之间的一切值。

换言之，f的值域是闭区间[]
,m M。

作业（P133）：1，2.。