数列与不等式的综合问题

数列与不等式的综合问题

测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

1. [2016 •银川一模](本小题满分15分)在等差数列｛刘中，a i= 3,其前n项和为S,

S2 等比数列｛b n｝的各项均为正数，b1 = 1，公比为q(q z 1)，且b?+ S2= 12, q=.

b2

(1) 求a n 与b n；

1 1 1 1 2

(2) 证明：3< S+S+…+ S<3,

b2 + S z= 12,

解(1)设｛a n｝的公差为d,因为s

q+ 6 + d= 12,

故a n= 3+ 3（n—1）= 3n, b n= 3 1 2 3.（6 分）

1 s n

2 1

=31 —苛.（12分）

1 2 1

_w 一1

3 3 n+1

211111

— 1 — + —+ —+

322334

1 1

n n+1

2

所以解得q= 3 或q=—4（舍），d= 3.（4 分）

(2)证明：因为S n = _

3+ 3n

2

,（8 分）

因为n》1,所以

1 1

°

刚1 1 1 1 2 八

即3三◎+§+•••+ Sn<3.（15 分）

3

3a n

2. [2017 •黄冈质检]（本小题满分15分）已知数列｛◎｝的首项a 1= , a n +1 =

, n

5

2a n + 1

* € N.

1

(1)求证：数列 -—1为等比数列;

⑵ 记S n =1

+丄+…+丄，若S n <100，求最大正整数 n .

—1—2 -n

1 1 *

又因为一一1工0,所以一一1工0( n € N),

—1 —n

1

所以数列-—1为等比数列.（7分）

—n

1 2 1 n —

1

（2）由（1），可得-—1 = 3

X - 一 ,

—n 3 3

1 1 n

所以一=2X n + 1.

—i 3

1 1 1 1 1 1 所以 Sn = '+=+…+ == n +

2 £ + /+•••+&

—1 —2 —n 3 3

3

若s n <100，则n +1 —右<100，所以最大正整数

n 的值为99.(15分)

3. [2016 •新乡许昌二调](本小题满分15分)已知｛—n ｝是等差数列，｛b n ｝是各项都为正 数的等比数列，且 —1 = 2, b= 3, —3+ b 5= 56, —5+ b 3= 26.

(1)求数列｛—n ｝ , ｛b n ｝的通项公式;

1

1

——

n+1

3 3

1

=n+ 1 —

1 31 ———

3

=n + 2X

所以

(1)证明：因为-1

2 1

3 +

宿，

1

—1

+1 仁丄-丄-1

3—n 3 3 —n

2

2b n

*

⑵若—x + 3

x <亦百对任意n

C N

恒成立，求实数x 的取值范围.

4

a i + 2d +

b i • q = 56,

解⑴由题意，

2

a i + 4d +

b i • q = 26,

4

2+ 2d + 3 • q = 56, 将a i = 2, b i = 3代入，得 2 2+ 4d + 3 • q = 26,

4

2

2

2 消 d 得 2q - q - 28= 0，二（2q + 7）（ q — 4） = 0,

•/ ｛b n ｝是各项都为正数的等比数列，••• q = 2,所以d = 3, (4分) ・

n — i

八

•- a n = 3n — i , b n = 3 ・2 .（8 分）

n — i

n — i

-

Cn +1 — Cn

= 3

•

•

~~2^十^>°

所以C n 最小值为C i = i , (i2分)

2

乙 Vn

* 因为—x + 3x< ,

任意n € N 恒成立, n 十i

所以—X 2+ 3x <2,解得 x >2 或 x < i , 所以 x € （ —a, i] U [2 ,+s ） . （i5 分）

4. [20i6 •江苏联考](本小题满分i5分)在等差数列｛刘和等比数列｛b n ｝中，a i = i , b i =2,

b n >0( n € N *)，且b i , a 2, b 2成等差数列，a 2, b, a 3 + 2成等比数列.

(i)求数列｛a n ｝、｛b n ｝的通项公式;

S ^n 十 4 n

⑵ 设6 = abn ,数列｛C n ｝的前n 项和为$,若$十>a “+1对所有正整数n 恒成立，求

常数t 的取值范围.

解 ⑴ 设等差数列｛a n ｝的公差为d ,等比数列｛b n ｝的公比为q (q >0). 2 i 十 d = 2 十 2q ,

由题意，得2q 2= " d 3十2d ,解得d =q =3.（3

分）

•- a n = 3n — 2, b n = 2 ・3 .（5 分）

⑵记C n =

2n + i

2n — i 2 b

n