【课件】18.2.1 矩形(第2课时矩形的判定)

又∵AD∥BC
∴∠
D
AQB ∠ QBC= = ∠ ADM
∴BQ∥DM 同理：AN∥CP ∴四边形EFGH是平行四边形 ∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC ∴∠EAB+∠EBA=90 ° 即∠AEB=90° ∴∠HEF=90° ∴四边形EFGH是矩形
变式：平行四边形ABCD，AF、BH、 CH、
方案:
分别测量出窗框四边和两条对角线的长度， 如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度 分别相等，那么窗框符合规格
方案1:
分别测量出两组对边的长度和 一个内角的度数，如果两组对边的 长度分别相等，且这个内角是直角， 则窗框符合规格
先用两组对边相等判定是平行四边再用 定义判定是矩形
方案2:
测量出三个内角的度数，如果三 个内角都是直角，则窗框符合规格
A M E
6 5
0
4 2 1
F
ຫໍສະໝຸດ Baidu
N D
C
同理：∠EFG=90°、∠FGH=90° ∴四边形EFGH是矩形
8、如图， ABCD四个内角的平分线围成四边形 EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形 P Q A H ∴∠ABC=∠ADC E G 又∵AN、DM是∠ABC、∠ADC的平分线 F B C M N ∴∠ABQ=∠QBC=∠ADM=∠CDM
18.2 特殊平行四边形
18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
四边形
平行四边形□
四边形 矩形
平行 四边形
∟
一个角 是直角
矩形
课前热身 直角 1、矩形的四个内角都是______。 相等 且 __________ 互相平分 。 2、矩形的对角线______ 轴对称和中心 对称图形。 3、矩形是______________ 30° 角所对的直角 4、在直角三角形中，______ 一半 。 边等于斜边的_______ 中线 等于 5、在直角三角形中，斜边上的______ 一半 。 斜边的______
1 ⌒
⌒
E
2
B
P
1 1 ∴ ∠1+∠2= (∠ABC+∠ABP)= ×180°=90° 2 2 即∠DBE=90° ∴ □ AEBD是矩形
1 1 ∴∠1= ∠ABC,∠2= ∠ABP 2 2
6、已知如图四边形ABCD中 AO=BO=CO=DO， 试说明四边形ABCD是矩形。
证明： ∵ AO=BO=CO=DO
2．如图，工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行： (1)先截出两对符合规格的铝合金窗(如图①)使AB=CD、 EF=GH ； (2)摆放成(如图②)的四边形，则这时窗框的形状是 平行四边形 ， 根据的数学道理是 两组对边分别相等的四边形平行四边形 。 (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角 尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格这时窗 框是 矩形 ，根据的数学道理是有一个角是直角的的平行四边形是矩形 。
F B G C
∴四边形EFGH是平行四边形 又∵EO+OG=FO+OH 即EG=FH ∴四边形EFGH是矩形
8、如图， ABCD四个内角的平分线围成四边形 EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠DAB+∠ABC=180 °
A H E F G C
D
B ∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC ∴∠EAB+∠EBA=90 ° 即∠AEB=90° ∴∠HEF=90°
A O
D
∴四边形ABCD是矩形
B
C
现在你可以帮助木工朋友检测所制作的 窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数 据，有几种方案，根据又是什么呢？
测量…？
方案:
分别测量出两组对边的长度和一个内角的 度数，如果两组对边的长度分别相等，且 这个内角是直角，则窗框符合规格
方案:
测量出三个内角的度数，如果三个内角都 是直角，则窗框符合规格
归纳：
对角线相等且互相平分的 四边形是矩形 ∵ AC=BD 且OA=OC OB=OD ∴四边形ABCD是矩形
证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴ AO=BO=CO=DO 又∵ AE=BF=CG=DH ∴OE=OF=OG=OH
7、已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O， E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点， A 且AE=BF=CG=DH。 D 求证：四边形EFGH是矩形。 E H O
木工朋友在制作窗框后，需 要检测所制作的窗框是否是矩 形，那么他需要测量哪些数据， 其根据又是什么呢？
测量…？
矩形的判定方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
A D
∵在 ABCD中 ∠B=90°
B
C
∴四边形ABCD是矩形
∟
有一个角是直角 有两个角是直角 有三个角是直角 的 四边形是矩形吗？
李芳同学用“边——直角、 D 边——直角、边——直角、边” 这样四步，画出了一个四边形， 她说这就是一个矩形。猜想她判 断的依据？ A
C
B
有三个角是直角的四边形是矩形
你能证明上述结论吗？
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90° 求证：四边形ABCD是矩形。 D A 证明：∵ ∠A=∠B=90° ∴ ∠A+∠B=180° ∴AD∥BC B C 同理可证：AB∥CD
（3）四个角都是直角的四边形是矩形。（
（4）对角线相等的四边形是矩形； （ ） （5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（ ） （6）两组对边分别平行，且对角线相等的四 边形是矩形． ( )
1． 有一个内角是直角 的平行四边形是矩形．对角 线 相等 的平行四边形是矩形．有三个角是直角的 四边形是 矩形 形。
∟ ∟
∴四边形ABCD是平行四边形 又∵ ∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形
∟
有三个角是直角的四边形是矩形
A D
符号表达式：
∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形 B
C
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：在□ ABCD，AC=BD 求证：□ ABCD是矩形 证明: ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AB=DC且AB∥CD
L
H
DF分别是BAD、ABC、BCD、CDA的 平分线。求证：EF=GH .
A E
F B
M
D
G K
C
N
9、如图,在△ABC中,点0是AC边上的一个动点, 过点0作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线 于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,
(1)求证:0E=0F
证明：∵CF平分∠ACD ∴∠1=∠2 又∵ MN∥BC ∴∠1=∠3 ∴ ∠2=∠3 ∴OC=OF 同理可证：OC=OE B ∴OE=OF
∴AO=CO，BO=DO 又∵AO+CO=BO+DO 即AC=BD ∴四边形ABCD是矩形
A
D O C
∴四边形EFGH是平行四边形
B
(2)当0运动到何处时, 四边形AECF为 矩形? 说明理由
答：当点0为AC的中点时， 四边形AECF是矩形 理由：由（1）知0E=0F， 又AO=CO ∴四边形AECF是平行四边形 又∵EC平分∠ACB，FC平分∠ACD ∴∠2+∠4=90°即∠ECF=90° ∴四边形AECF是矩形
B ∵AB=6,BC=8,AC=10 ∴AB2+BC2=62+82=100=102=AC2 ∴ ∠B=90° 又∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ □ ABCD是矩形
D
C
5、BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的 平分线，AE⊥BE，AD⊥BD， A 求证：四边形AEBD是矩形。
D 证明：∵ AE⊥BE，AD⊥BD ∴ ∠E=90°, ∠D=90° C ∵ BD，BE分别是∠ABC与它的 邻补角∠CBP的平分线
先用一组对边平行且相等判定是平行四 边再用定义判定是矩形
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
方法3：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）
1、下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ （2）四个角都相等的四边形是矩形； （ ） ） ）
3、已知如图四边形ABCD中，AB⊥BC， A D AD∥BC，AD=BC， 试说明四边形ABCD是矩形。
B
证明：∵ AD=CB AD∥CB ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AB⊥BC ∴∠B=90° ∴ □ ABCD是矩形
∟
C
4、如图，平行四边形ABCD中，AB= 6， BC= 8，AC= 10 ， A 求证 : 四边形ABCD是矩形。 证明：
C 又∵BC=CB, 且AC=DB B ∴ △ABC≌ △DCB（SSS） ∴ ∠ABC=∠DCB 又∵ 四边形ABCD是 平行四边形 ∵ AB//CD A D
∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=∠DCB=90°
∴ □ ABCD是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形 符号表达式：
∵四边形ABCD是平行四边形 且AC=BD
本节课我们学习了什么内容，你能总结吗？
谈一谈，今天你有何收获？
1.判定一个四边形是矩形的方法是： ABCD ∠A=90°
ABCD AC = BD ∠A= ∠B= ∠C=90°
ABCD 是矩形
四边形ABCD 是矩形
拓展：
(1)对角线相等的四边形是矩形吗? (2)需要添加什么条件才能使 对角线相等的四边形是矩形吗? 等腰梯形
有三个角是直角的四边形是矩形
方案3:
分别测量出窗框四边和两条对角 线的长度，如果窗框两组对边长度、 两条对角线的长度分别相等，那么窗 框符合规格
先用两组对边相等判定是平行四边再用 对角线相等判定是矩形
方案4:
分别测量出一组对边的长度和 这组同旁内角的度数，如果这组对 边的长度相等，且这两个内角都是 直角，则窗框符合规格