误差平差：协方差传播定律及权

= E K( X − µX )( X − µX )T KT = KE ( X − µX )( X − µX )T KT = KDXX KT
由上推导可得出以下结论： 由上推导可得出以下结论：
若有函数: 纯量形式：
Z = K X + k0
1 1 × 1 n × n× 1 1 1 ×
2
2
2
x1 x 2
+
2
k1 k3σ
x1 x 3
可见： 为对角阵时，协方差传播律即为“误差传播律” 可见：若DX为对角阵时，协方差传播律即为“误差传播律”。
例：已知向量
L = L1
ˆ
L2
L3
1
T
，且
0 DL L = 0
1
0 2 0
0 1
0
若有函数：
E( X ) = ∫ xf (x)dx
−∞
+∞
已知随机变量的数学期望求其函数的数学期望,称为数学期 望的传播。
以下给出数学期望传播的几个运算公式 1、设C为一常数, 则: E(C)=C 2、设C为一常数,X为一随机变量, 则: E(CX)=CE(X) 3、设有随机变量X和Y, 则: E(X+Y)=E(X)+E(Y) 4、 若随机变量X、Y相互独立, 则： E(XY)=E(X)E(Y)
T
若 则
Z = KX + K 0 Y = FX + F0 DZY = KDXX F T
三、非线性函数的情况
设有观测值 X 的非线性函数为 ： n× 1
Z = f ( X ) = f ( X1, X2 ,LXn )
已知X的协方差阵DXX。 求Z的方差阵DZZ。 解决这类问题的关键是 必需先将非线性函数线性化 非线性函数线性化,得到和前面已推导出的公式 非线性函数线性化 “一致 一致”的形式! 一致 故，如何将非线性函数线性化，是我们先要解决的。
ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 1 8 0 1 8 0 1 8 0 ） ） ）
0 0 0
ˆ ˆ L = L1
ˆ L2
ˆ L3
T
解决类似以上问题的方法就是：“协方差传播律”，也 解决类似以上问题的方法就是： 协方差传播律” 广义传播律” 称“广义传播律”。
3-1 数学期望的传播
数学期望是描述随机变量的数字特征之一。 数学期望是描述随机变量的数字特征之一。 其定义是：
x1 x n
. . .
σ

k1
M kn
k2

1 Z1 Z ×
D = k1 σ
+ . . . +
2
2
x1
+ k2 σ 2
2
x
+
k1 knσ
x1 x n
+ knσ x + k1 k2σ n . . . 2 + + kn− 1 k2σ x 1 x
n− n
. . .
σ x1 σ x1 x 2 2 σ x 2 x1 σ x 2 K n . . . σ x n x1 σ x n x 2
2 2
2
1 Z1 Z ×
D = K1
K2
. . .
. . . σ x2 xn . . . 2 . . . σ xn
n×1
1×1
或：
Z = KX + k0
11 × 1×n n× 1
式 : K = [ k1, k2 ,Lkn ] , K0是 数 中 常 。
1×1
求Z的方差DZZ。
为求Z的方差，我们需从方差的定义入手。 为求Z的方差，我们需从方差的定义入手。 根据方差的定义,Z的方差为：
2 T DZZ = σZ = E (Z − E(Z))(Z − E(Z)）
（公式2） 公式 ）
可以看出
线性函数的协方差和多个线性函数的协方差阵在形式上 完全相同,且推导过程也相同; 所不同的是DZZ表示的是一个方阵； 前者是一个函数值的方差（1行1列）; 而后者是t个函数值的协方差阵（t行t列）。 即：前者是后者的特殊情况.
例5：已知向量
L= L
1
L
2
L ，且：
求函数Z的方差 方差以及它们之间的协方差 协方差？ 方差 协方差
令:
Z1 k11 Z k 2 = , K = 21 Z M t×n M t× 1 Z3 kt1
k12 k22 kt 2
L k1n k10 k L k2n , K = 20 0 M M t×1 L ktn kt 0
一、观测值线性函数的方差
设有观测值 nX× 1 ,数学期望为 µ×X1 ,协方差阵为 DXX ，又设有X n n×n 线性函数为:
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Z = K1 X1 + K2 X2 +L+ Kn Xn + k0
1×1
式 : K = [ k1, k2 ,Lkn ] , K0是 数。 中 常
1×n
n×1
1×n
n×1
1×n
1 2 3
T
.1 3 . 0
.
的方差阵为：
（1）试写出各观测值的方差以及两两协方差； 3 7 8 1 + L2 + 3 − L （2）若有函数 F = L ，则该函数F的方差又如何？
2、等精度独立观测三角形三内角，若已知观测值的方差，则 由三个平差值构成的向量的精度如何？
L1 = L1 − 3（ L1 + L2 + L3 − L2 = L2 − 3（ L1 + L2 + L3 − L3 = L3 − 3（ L1 + L2 + L3 −
。
二、多个观测值线性函数的协方差阵
设有观测值 X ，它们的期望 µ×X1 、方差为 DXX n n×n 若有X的t个线性函数为:
n ×1
Z1 = k11X1 + k12 X2 +L+k1nXn + k10 Z2 = k21X1 + k22 X2 +L+ k2n Xn + k20 L L L Zt = kt1X1 + kt 2 X2 +L+ ktn Xn + kt 0
求函数的协方差阵 协方差阵； 协方差阵 求函数的协因数阵 协因数阵； 协因数阵 求两两函数的互协方差阵 互协方差阵以及互协因数阵 互协因数阵。 互协方差阵 互协因数阵
重点和难点
协方差、协因数传播律的应用； 常用定权的方法。
先看两个例子 看两个例子
1、设有观测值向量
DL L
L = L L L . . 0 8 0 2 0 . . = 0 2 0 7 0 . . 0 1 0 3 1
1
1
并记
ˆ
1
ˆ
ˆ
ˆ
2
L= L
L
L
3
，试求
ˆ ˆ
LL
。
解：
函数式
1 1 2 − − 3 3 3 W1 1 2 1 ˆ L = − − L + W2 = AL + W 3 3 3 W3 1 1 2 − − 3 3 3
故：
D = [ F 0] DXX [ 0 K] YZ = FD KT 12
T
协方差传播律小节 求函数（也可是向量）的方差（方差阵）； 求函数（也可是向量）的方差（方差阵）； 适用于各观测为相关观测情况； 适用于各观测为相关观测情况； 定律的通式为： 定律的通式为：
若 则
F = KX + K 0 DFF = KDXX K
3-2 协方差传播律
从测量工作的现状可以看出
观测值函数与观测值之间 观测值函数 观测值之间的关系可分为以下两种情况： 观测值之间 1）线性函数 线性函数（如观测高差与高程的关系）； 线性函数 2）非线性函数 非线性函数（观测角度、边长与待定点坐标的关系）。 非线性函数 故，分别从线性函数、非线性函数研究协方差传播律。 分别从线性函数、非线性函数研究协方差传播律。
非线性函数的线性化
如果函数 f ( x) 在 x 0的某一邻域内具有直到n+1阶的导数，则 在该邻域内 f ( x) 的泰勒公式为
f ′′(x0 ) f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 +L 2! f (n) (x0 ) + (x − x0 )n +L +L n!
由数学期望运算可得：
E Z） E KX + k0 ) （ =（ = KE( X ) + k0 = KµX + k0
将Z的函数式以及数学期望E（Z）代入得：
2 T DZZ = σZ = E (Z − E(Z))(Z − E(Z)） = E（KX − KµX )(KX − KµX )T
DZY = KD
t×r
XX
FT 且: DZY = DT YZ
Y = FX 1 + F0，Z = KX 2 + K 0 例:若有函数 在已知X1和X2的协方差阵D12时,试求Y对Z的协方差阵DYZ。
解：
X1 Y = FX1 + 0X2 + F = [ F 0] + F 0 X2 0 X1 Z = 0X1 + KX2 + K0 = [ 0 K] + K0 X2
L
1
ˆ
L2
ˆ
L3
1 8 00 3（ L1 + L2 + L3 − = L− ） 1 1 8 00 3 ） = L2 − （ L1 + L2 + L3 − 1 1 8 00 3 − （ L + L2 + L3 − 1 3 = L ）
1
试求各函数的方差
ˆ σ L，σ Lˆ ，σ
1 2
ˆ
L 3
DLˆ Lˆ
1 1 2 − − 3 3 3 1 2 1 DLL = ADLL AT = − − ˆˆ 3 3 3 − 1 − 1 2 3 3 3
利用协方差传播律
本题关健是:将函数式转换为“同一” 变量的形式! 本题关健是:将函数式转换为“同一” 变量的形式!
测量平差中，非线性函数线性化的方法是按泰勒级数展开，并 零次项和一次 一次项，二次以上各项舍去，即 取其零次 零次 一次
f (x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 )
再来看多个变量的函数
f ( x1 , x2 L xn )
的情况
0 0 f ( x1 , x2 L xn ) = f ( x10 , x2 L xn ) + (
误差理论与测量平差基础
—协方差传播定律及权
第三章 协方差传播律及权
本章内容包括： 本章内容包括：
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 数学期望的传播 协方差传播律 协方差传播律的应用 权与定权的常用方法 协因数和协因数传播律 由真误差计算中误差及其实际应用
本章学习的目的和要求
Z = K1 X1 + K 2 X 2 +
. . .
+ K n X n + k0
则函数的方差为:
DZZ = σ = KDXX K
2 Z
T
（公式1） 公式1
以上就是已知观测量的方差,求其函数方差的公式。也称为“ 以上就是已知观测量的方差,求其函数方差的公式。也称为“协 方差传播律” 方差传播律”。
方差的纯量形式为： 方差的纯量形式为：
则X的t个线性函数式可写为:
t×
Z1 =
t× n n×
K X1 + k0 1
t×
同样,根据协方差阵的定义可得Z的协方差阵为:
D ZZ
t×t
= E (Z − E(Z))(Z − E(Z))T = E (KX − KµX )(KX − KµX )T = KE ( X − µX )( X − µX )T KT = KD XX KT
再利用数学期望传播律，得：
D YZ
r×t
= E (Y − E(Y))(Z − E(Z))T = E (FX − FµX )(KX − KµX )T = FE ( X − µX )( X − µX )T KT = FDXX KT
（公式3） 公式 ）
同理,可得:
两组线性函数的互协方差阵的求法 设有两组X的线性函数
Z = K X + K0
t× 1 t×n n× 1 t× 1
Y = F X + F0
r× 1 r×n n× 1 r× 1
若已知X的方差阵DXX; 则Y关于Z的互协方差阵DYZ以及DZY又如何?
根据互协方差阵的定义,可得:
D YZ
r×t
= E (Y − E(Y ))(Z − E(Z))T
3
0 = 0 LL 1
1
0 0
0 1
0
若有函数：
ˆ
L
1
ˆ
L2
ˆ
L3
1 8 00 3（ L1 + L2 + L3 − = L− ） 1 1 8 00 3 = L2 − （ L1 + L2 + L3 − ） 1 1 8 00 3 = L3 − （ L1 + L2 + L3 − ）