常系数线性微分方程

1 1 f ( x ) cos 2 x cos x cos x cos 3x. 2 2
r1,2 i
y y y x( A1 cos x B1 sin x) A2 cos3x B2 sin 3x.

1
2
例6 解
求方程 y 4 y x sin 2 x 的通解.
y 2 y 3 y x e
2 x
3 x y 3y 3y y e .
特征方程为: r 2 2r 3 0 r1 3, r2 1.
2 x
y x( Ax Bx C )e .
解
3 2 r 3 r 3r 1 0 r1,2,3 1 2. 特征方程为:
4. y 8 y 16 y 0.
答案：
y 9 y 0.
y y 0.
y c1 c2e
2 x 3
5.
.
1. y c1e c2e
3x
4 x
2.
4x
.
3.
y c1 sin 3x c2 cos3x.
4.
3 3 5. y c1e e (c2 cos x c3 sin x ) 2 2
x
y (c1 c2 x)e .
x 2
二. 二阶常系数非齐次线性方程解的求法
y a1 y a2 y f ( x) (1) 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 y a1 y a2 y 0的通解为y, 则(1)通解结构 y y y ,
难点：如何求特解
y C1e e (C2 cos 3x C3 sin 3x).
2x x
解方程: y 8 y
特征根为
故所求通解为
例4
解
解方程: y ( 4) 4 y 10y 12y 5 y 0.
特征方程为:
r 4r 10r 12r 5 0.
4 3 2
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y a1 y a2 y 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y a1 y a2 y f ( x)
1. 二阶常系数齐次线性微分方程的通解求 法 y a y a y 0
1 2
设解为: y e ,
rx
将其代入上方程, 得
得齐次方程的通解为
r1 i , r2 i , x y e (C1 cos x C2 sinx).
有两个相等的实根 ( 0) a1 特征根为 r1 r2 2 , 一特解为
y1 e ,
r1 x
设另一特解为 y2 u( x )e r1 x ,
对应齐方通解
y C1 cos2 x C2 sin 2 x,
2i

是特征方程的单根,
y x[( A1 x B1 ) cos2x ( A2 x B2 ) sin 2x].
代入原方程: (8 A x 4B 2 A ) cos2 x 2 2 1
(8 A1 x 4B1 2 A2 ) sin 2 x x sin 2 x.
2
2
两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为
y1 e , y2 e ,
r1 x
r2 x
y C1e
r1 x
有两个相等的实根 ( 0) 得齐次方程的通解为 有一对共轭复根
y (C 1 C 2 x )e ;
a1 r1 r2 , 2r1 x
C 2e
r2 x
;
y Ae
3 x
.
例 4
解
2x 求方程 y 3 y 2 y xe 的通解.
特征方程 特征根
r 3r 2 0,
2
r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解
y c1e c2 e ,
x 2x
设 2 是单根，

y x( Ax B)e ,
x
r1， 2 1 2i ,
故所求通解为
y e (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ).
2. n 阶常系数齐次线性方程解法
y
(n)
a1 y
( n1)
an1 y an y 0
n1
an1r 特征方程为 r a1r 特征方程的根 通解中的对应项
设原方程的特解为
y x (ax b)e ,
* 2 x
代入原方程比较系数得
1 1 a , b , 6 2
3 2 *
原方程的一个特解为 故原方程的通解为
3 2 代入初始条件.有 2 1 1 1 x x x x x y [ ( ) x ]e e e . e 6 2 e 6 2
，y2 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2
u (2r 1 a1 )u ( r a1r 1 a2 )u 0,
2 1
知 u 0,
rx 则 y xe , 取 u( x ) x , 2
1
得齐次方程的通解为
y (C 1 C 2 x )e ;
r1 x
y a1 y a2 y pm ( x)e
设 y x e Qm ( x) ,
注意
k x
x 的特解:
0 不是根 k 1 是单根, 2 是重根
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
例
写出下列方程的特解形式:
1.
2.
解 1.
1.
则有特解:
y ？方法：待定系数法. x f ( x) e P m ( x)型 :
K

y x Qm ( x)e . Q ( x)与P 是同次多项式.
m m
x
(1) 若不是特征方程的根， k 0.
( 2) 若是特征方程的单根， k 1.
( 3) 若是特征方程的重根，
k 2.
1 2 2
2. 非齐次方程求特解:
(1) f ( x ) e Pm ( x ), (可以是复数）
x
y x e Qm ( x);

k x
0 不是根 k 1 是单根, 2 是重根
( 2) f ( x ) e [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ],
例1
解
求方程 y 4 y 4 y 0 的通解.
特征方程为
解得
r 4r 4 0 ,
2
r1 r2 2 ,
故所求通解为 例2 解
y (C1 C2 x )e
2 x
.
求方程 y 2 y 5 y 0 的通解.
特征方程为 r 2 2r 5 0 , 解得
2x

代入方程, 得 2 Ax
B 2A
1 2x 于是 y x ( x 1)e 2 原方程通解为 y C e x C e 2 x x ( 1 x 1)e 2 x . 1 2 2
1 A x 2 , B 1
例5
解
求方程 y 3 y 2 y 1 的通解.
比较系数得:

通解为:
1 1 y x[ x cos 2 x ) sin 2 x ]. 8 16
1 1 A1 , B1 0, A2 0, B2 . 8 16

y y y
四、小结
1. 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:
（1）写出相应的特征方程;
（2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表)
2 2
特征根为 r1,2 1, 故所求通解为
(r 1) (r 2r 5) 0.
r3,4 1 2i.
x x
y (C1 c2 x)e e (C3 cos2x C4 sin 2x
练习 求方程的通解：
1.
y y 12 y 0.
2. 3 y 2 y 0. 3.
n
an 0
若是k重根r
(C 0 C1 x C k 1 x k 1 )e rx
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
若是k重共轭 复根 j
第五节 常系数线性微分方程
一、常系数齐次线性方程通解求法
n阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式
y
(n)
a1 y
(n)
( n1)
an1 y an y f ( x)
an1 y an y 0
n阶常系数齐次线性微分方程的标准形式
y
a1 y
( n1)
y a1 y a2 y 0
特征根的情况
r a1r a2 0
2
通解的表达式
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
实根r1
y C1e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
(1) ( 2) 其中 Rm ( x ), Rm ( x )是m 次多项式， m maxl , n

0 i不是根 k , 1 i是单根
例5
写出下列方程的特解形式:
1.
解
y y cos2 x cos x.
特征根
1 f1 ( x ) cos x 的特解 y1 x( A1 cos x B1 sin x) 2 1 f 2 ( x ) cos 3x 的特解 y ( A cos3x B sin 3x) 2 2 2 2
f1 ( x) f 2 ( x) xe 1.
x 2x
1 . 2
1 1 2x 原方程通解为: y C1e C2 e x( x 1)e . 2 2
2、 f ( x) e [Pl ( x) cosx Pn ( x) sin x] 型
x
则特解为:
(1) (2) y xk ex [Rm ( x)cos x Rm ( x)sin x],
特征根 r1 1， r2 2， 对应齐次方程通解
0 不 是根，
代入方程, 得
y c1e c2 e ,
x 2x
1 A . 2
设 y A,
x 2x

原方程通解为: 例6 解
y C1e C2 e
2x
2x
求方程 y 3 y 2 y xe 1 的通解.
x
y x e [R ( x)cos x R ( x)sin x];
(1) m (2) m
k x
0 j不是根 k , 1 j是单根
例9 解方程
解 特征方程
y 2 y y xe e , y(1) y(1) 1.
x x
2
r 2r 1 0, r1 r2 1, x 对应的齐次方程的通解为 y (C1 C2 x )e .
来自百度文库
(r a1r a2 )e 0
2 rx
e 0,
rx
故有
r a1r a2 0
2
-----特征方程
2
特征根
a1 a1 4a2 r1,2 , 2
有两个不相等的实根 ( 0)
特征根为
a1 a1 4a2 a1 a1 4a2 r1 , r2 , 2 2
x x x x y e e , 6 2 3 2 x x x x x y (C1 C 2 x )e e e . 6 2
补充题
例2 求方程 y-y-6y=xe 的一个特解形式.
3x
04 考 题
答: x(Ax+B)e .
y 3 y 2 y 0.
2x
3x
注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数. y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例3
解
0, 3 特征方程为: r 8 0, 2 (r 2)(r 2r 4) 0,
r1 2, r1,2 1 3i