多项式的综合除法

4.多项式的综合除法

多项式的除法定理：

设)(),(x g x f 是两个多项式，且0)(≠x g ，则恰有两个多项式)(),(x r x q 使得)()()()(x r x q x g x f +=成立，其中0)(=x r 或者deg )(x r deg )(x g 。

（1），称为余式。称为商式，称为除式，称为被除式，)()()()(x r x q x g x f

(2),被除式=除式×商式+余式。

（3），简式：A=BQ+R

综合除法中定义)()(a x x g -为一次多项式，a 为为任意数。

一、用综合除法写出)(x f 按降幂排列的系数，设

01111)(c x c x c x c x f n n n n =+++=-- 则有：))))

))((((((()))

))(((((());

))((((()()(143211432143012121101221

n n n n n n n n n n n n n n n

n n n ac c a a c a c a c a c a e ac c a a c a c a c a d ac c a a c a c a b e

c d c b c ac c a c ac c c e d b ac c a ac c c c c c c a ++++=++++=+++=+++++++-+-------- 则

e c x r x d c x b c x ac c a c x ac c x q n n n n n n n +=++++++++=-----012221211)(,)()())(()()( 注意：缺项的系数为0。

例题：（1）3)(,852)(3

5+=--=x x g x x x x f

解：327-10939-136-2327

-11739-186-08-05-023

所以327)(,109191362)(2

34-=+-+-=x r x x x x x q （2）i x x g x x x x f 21)(,)(2

3+-=--= 解：i i i i i i 8925218924210111i

2-1+----+------

所以i x r i ix x x q 89)(,252)(2+-=---=

当除式为一次式时，用综合除法比余除法来得方便，特别是有些问题需要多次以一次多项式作为除式的运算，综合除法更显示出它的作用，用综合除法进行运算时，被除式中所缺的项必须补上零，否则计算就错了。

二：

的形式

的方幂和，即表示成

表示成把

+-+-+-2020100)()()(x x c x x c c x x x f 当1

00210

00000010)()()()(,,

)()()()(--++-+=----++-+=n n n n x x c x x c c x x x f x f x x c x f x x c x x c c x f 就得到以然后等式的两边同时除移到等式左边将的时候， 例题：（1）;1,)(05==x x x f

解：

)

5()1(11

)10(4111

6

31)

5(432114321)1(111111

111110000011

所以1)1(5)1(10)1(10)1(5)1()(2

345+-+-+-+-+-=x x x x x x f （2）;2,32)(024=+-=x x x x f

解：

)

8()1(22)

22(612122)24(10412

2082)11(42212

8442302012

------------------

所以11)2(24)2(22)2(8)2()(2

34++-+++-++=x x x x x f （3）i x i x x i ix x x f -=++-+-+=0234,73)1(2)(

解：同理i i x i x i i x i i x x f 57)(5))(1()(2)()(2

34+++-++-+-+= 注：综合除法是一种除多项式的快速方法，其中需要除以多项式的系数。除去其中的变量和指数。这种方法和普通的长除法方式不同，是将除得的数加起来，而不是减掉。 学号:20132113388 姓名:吴梦妮