傅里叶级数.ppt

收敛于 f ( 0) f ( 0) () 0,
2
2
在连续点x( x (2k 1))处收敛于f ( x),
bn
2
0
f
( x)sin
nxdx
2
0x sin
nxdx
2
[
x
cos n
nx
sin n
nx
2
]0
2 cos n 2 (1)n1,
n
n
(n 1,2,)
f ( x) 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x )
足条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间
断点,并且至多只有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶
级数收敛,并且
(1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ; (2)当x 是 f ( x)的间断点时,收敛于 f ( x 0) f ( x 0) ;
2
注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多.
a0 2 ,
2
1
a0
f ( x)dx
(2) 求an .
f ( x)cos nxdx a0
cos nxdx
2
[ak
cos kx cos nxdx bk
sinkx cos nxdx]
k 1
an
cos 2 nxdx
an ,
1
an
f ( x)cos nxdx
(n 1,2,3,)
题目类型：
(1) 将定义在（，）上的 以2为周期的函
数 f ( x) 展开成傅立叶级数。
方法： (i)先求傅里叶系数
an
1
f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2,)
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
(ii) 写出对应的傅里叶级数
f ( x)
~
a0 2
(an
n1
bn 0
(n 1,2,)
证明 (1) 设f ( x)是奇函数,
an
1
f ( x)cos nxdx
奇函数
0
(n
0,1,2,3,)
bn
1
2
f ( x)sinnxdx
偶函数
f ( x)sinnxdx
0
(n 1,2,3,)
同理可证(2)
定理证毕.
定义
如果
f
(
x
)
为奇函数,傅氏级数
bn
sin
cos nx
bn
sin nx)
(iii)根据收敛定理把上式写成等式
f
(x)
a0 2
n1
(an
cos
nx
bn
sin nx)
x 连续点集合
例1 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u(t
)
Em , Em
,
0 t t 0
Em
u
将其展开为傅立叶级数.
o
t
Em
解
a0
1
u(t )dt
其中A0 ,An, n为常数。
由三角公式，我们有
Ansin(nωt+ n )=Ansin n cosnωt+A ncos n sinnωt
令 a0 2
A0 ,
an=Ansin n ， bn=Ancosn ,ωt=x，
则(1)式右端变型为
a0
2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
(2)
形如(2)式的级数叫做三角级数，其中a0、an、 bn
1
1
1 32
1 52
(
2
8
),
2
1 22
1 42
1 62
,
3
1
1 22
1 32
1 42
,
2
4
1
2
4
,
2
1
3
2
24
,
1
2
2
6
,
3 2 1
2
. 12
9.5.3 正弦级数和余弦级数 1.奇函数和偶函数的傅里叶级数
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.
2.展开的条件是什么?
傅里叶系数
若有
f (x)
a0 2
(ak
k 1
cos kx bk
sinkx)
(1) 求a0 .
f ( x)dx
a0 dx 2
[
(ak cos kx bk sinkx)]dx
k 1
a0 dx 2
ak cos kxdx k 1
bk sinkxdx k 1
(3) 求bn .
f ( x)sinnxdx a0
sinnxdx
2
[ak
cos kx sinnxdx bk
sinkx sinnxdx]
k 1
bn ,
1
bn
f ( x)sin nxdx
(n 1,2,3,)
傅里叶系数
an
1
f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2,)
4 1
f (x)
cos(2n 1)x
2 n1 (2n 1)2
( x )
利用傅氏展开式求级数的和
f ( x) 4 1 cos(2n 1)x,
2 n1 (2n 1)2
当x 0时,
f (0) 0,
2
8
1
1 32
1 52
设 1 1 1 1 ,
22 32 42
x cos nxdx
0
2
n 2
(cos n
1)
2
n2
[(1)n
1]
(2k
4
1)2
,
n 2k 1, k 1,2,
0,
n 2k, k 1,2,
1
bn
f ( x)sin nxdx
1
0
1
( x)sin nxdx
x sin nxdx 0,
0
(n 1,2,3,)
所求函数的傅氏展开式为
(1) 将定义在（，）上的 以2为周期的函数 f(x) 展开成傅立叶级数。 方法：计算f(x)的傅立叶系数后得到f(x)的傅立叶级 数，再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级数展开式。
(2) 将定义在[-， ]上的 函数f(x) 展开成傅立叶 级数。 方法：应对f(x)作周期为2的周期延拓得定义在 （，）上的周期函数F(x), 将F(x)的傅立叶级数 限制在[-， ]再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级数 展开式。
1
0
1
( Em )dt
0 Emdt
0
1
an
u(t)cos ntdt
10
1
0
(Em )cos ntdt (n 1,2,)
0 Em cos ntdt
1
bn
u(t)sin ntdt
10
1
(Em )sin ntdt
0 Em sin ntdt
2Em (1 cos n ) 2Em [1 (1)n ]
,
, mn
0, m n
cos
m x cos
nxdx
,
, mn
sinmx cos nxdx 0.
(其中m, n 1,2,)
9.5.2 将函数展开成傅里叶级数
设f (x)是周期T = 2π的周期函数，且能展开成
三角级数：
f (x)
a0 2
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)
问题: 1.若能展开, ai , bi 是什么?
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
傅里叶级数
f ( x)
~
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
问题:
f ( x) 条件?
a0 2
(an cos nx bn sin nx)
n1
9.5.1(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件)
设 f ( x) 是以2 为周期的周期函数.如果它满
bn
2
0
f ( x)sinnxdx
2
( x 1)sinnxdx
0
2 (1 cos n cos n )
n
2
2 n
n
2
当n 1,3,5, 当n 2,4,6,
x 1 2 [( 2)sin x sin2x
2
1 ( 2)sin3x ]
3
(0 x )
在端点x 0及x 处，级数收敛到0.
9.5 傅里叶级数
9.5.1 三角函数系的正交性 9.5.2 将函数展开成傅里叶级数 9.5.3 正弦级数与余弦级数
9.5 傅里叶级数
9.5.1 三角函数系的正交性
1．三角级数
简谐振动： y=Asin(ωt+ ) T 2 , A为振幅，ω为角频， 为初相。
f (t) A0 An sin(nt n ) (1) n1
n
n
4Em
(2k 1)
,
n 2k 1, k 1,2,
0,
n 2k, k 1,2,
所给函数满足狄利克雷充分条件.
所求函数的傅氏展开式为
u(t)
4Em sin(2n 1)t
n1 (2n 1)
( t ;t 0, ,2 ,)
在点t k (k 0,1,2,)处不连续.
收 敛 于 Em Em 0, 2
(2) 将定义在[-， ] 上的 函数f(x) 展开成傅立 叶级数。
方法:(i)对f(x)作周期为2的周期延拓得定义在 (，)上的周期函数F(x).
(ii) F(x)的傅立叶级数与 f(x)的傅立叶级数相同.
(iii)限制在[-， ] 再用收敛定理得到f(x)的傅立 叶级数展开式。
例2
将函数
f
( x)
(1)当周期为2 的奇函数 f ( x) 展开成傅里叶级数
时,它的傅里叶系数为 an 0
(n 0,1,2,)
bn
2
0
f ( x) sin nxdx
(n 1,2,)
(2)当周期为2 的偶函数 f ( x) 展开成傅里叶级
数时,它的傅里叶系数为
an
2
0
f ( x)cos nxdx
(n 0,1,2,)
(2)求余弦级数. 对f ( x)进行偶延拓,
2
a0
( x 1)dx 2,
0
2
an
( x 1)cos nxdx
0
0
2
n 2
(cos n
1)
4
n 2
当n 2,4,6, 当n 1,3,5,
4
1
x1
2
1
(cos x
32
cos 3x
1 52
cos
5x
)
(0 x )
总结：将f(x)展开傅立叶级数有以下三种情况：
x,
x,
x0 0 x
展开为傅立
叶级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
拓广的周期函数的傅
氏级数展开式在 [, ]
y
收敛于f ( x) .
2 0 2 x
1
a0
f ( x)dx
1
0
1
( x)dx
xdx
,
0
1
an
f ( x)cos nxdxBaidu Nhomakorabea
1
0 ( x)cos nxdx 1
为常数。
2.三角函数系的正交性 三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin2x,cos nx,sinnx,
在[， ]上正交：
任意两个不同函数的乘积在[ , ]上的积分等于零.
cos nxdx 0,
sinnxdx 0, (n 1,2,3,)
0, m n
sinmxsinnxdx
偶延拓
令F
(
x)
f f
(x) 0 x ( x) x
0
y
f ( x)的傅氏余弦级数
0 x
f ( x)
a0 2
an cos nx
n1
(0 x )
例4 将函数 f ( x) x 1 (0 x ) 分别展开
成正弦级数和余弦级数.
解 (1)求正弦级数. 对f ( x)进行奇延拓,
nx
n1
称为正弦级数.
如果 f ( x)为偶函数,
傅氏级数a0 2
an
n1
cos nx
称为余弦级数.
例3 设 f ( x) 是 周 期 为2 的 周 期 函 数 , 它 在 [,)上的表达式为 f ( x) x ,将 f ( x) 展开成
傅氏级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点x (2k 1)(k 0,1,2,)处不连续,
2
3
2
n1
(
1)n1 sin nx.
n
( x ;
x
,
3,)
2、函数展开成正弦级数或余弦级数
将定义在[0, ]上的f (x),展开成正弦或余弦级数。
做法：奇延拓
f (x) 0 x
令F ( x)
0
x0
y
f ( x) x 0
f ( x)的傅氏正弦级数
0 x
f ( x) bn sinnx (0 x ) n1
(3) 将定义在[0， ]上的 函数f(x) 展开成正弦 （余弦）级数。
方法：应对f(x)作奇延拓（或偶延拓），得到定 义在 (- , ] 上的函数F(x), F(x)的傅立叶级数即 为正弦级数（或余弦级数），限制在[0 ]再用收 敛定理得到f(x)的正弦级数（或余弦级数）展开 式。