第三章平面一般力系

求图示位置a＝2m时，拉杆的拉力和铰链A的约束反力。
4）其他形式平衡方程的求解
C
Fx 0
FAx FT cos 0
M A
F
0
FT
sin

l

P

l 2

Qa

0
M B F 0
Q
l

a


P

l 2

FAy

l

0
求解结果相同： AB连线不能与X轴垂直
a=3 m。求支座A、D的约束反力。
练习：刚架ABCD的A处为固定铰支座，D处为辊轴支座。此 刚架上有水平载荷和垂直载荷。已知F1=10 kN，F2=20 kN，
a=3 m。求支座A、D的约束反力。
解： （1）取刚架整体为研究对象，画出受力图。
(3) 列平衡方程：
MA (F) 0, F1 a F2 a FDy 2a 0 MD(F) 0, F2 a F1 a FAy 2a 0 Fx 0, FAx F1 0
已知：AC=CB=l, P=10kN;
求： 铰链A和DC杆受力。
（用平面任意力系方法求解）
解：
练习
已知：AC=CB=l, P=10kN;
求： 铰链A和DC杆受力。
（用平面任意力系方法求解）
解： 取AB梁，画受力图。
M A 0 Fc cos 450 l P 2l 0
解得
FC 28.28kN
分析： （1）若
FR

0，M，O则原0力系简化为一个力和
一个力偶。在这种情况下，根据力的平移定理，这
个力和力偶还可以继续合成为一个合力FR，其作用 线离O点的距离为 d MO，/ F利R 用主矩的转向来 确定合力FR的作用线在简化中心的哪一侧。
FR′
FR
FR′
FR
Mo
O
Mo
Od
O
O d
(2)若 FR 0，M，O 则 0原力系简化为一个力。在这种情 况下，附加力偶系平衡，主矢即为原力系的合力FR
，作用于简化中心。 （此时简化结果与简化中心有 关，换个简化中心，主矩不为零）
(3)若 FR 0，，M则O原力0 系简化为一个力偶，其矩等于
原力系对简化中心的主矩。此时刚体等效于只有一 个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移 动，故这时，主矩与简化中心O无关。 即无论力系向哪一点简化都是一个力偶，且力偶矩等 于主矩。
（1）各力在两个任选坐标轴上投影的代数和 分别等于零。
（2）各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。
例题 悬臂吊车如图示，横梁AB长l＝2.5m；重量P＝1.2kN； 拉杆CB倾斜角α＝450，质量不计。载荷Q＝7.5kN；
求图示位置a＝2m时，拉杆的拉力和铰链A的约束反力。
解： 1）取AB梁为研究对象 画受力图
C （1）
Fy 0 FAy P Q FT sin 0 （2）
M A F 0
FT
sin

l

P

l 2

Qa

0
（3）
A
l
B
r
3）解平衡方程
2
a
P
r Q
FT


P

l 2

Qa

l sin 13.2kN
l
y
FT
由（1）和（2）式得
FAx FAy
A
B
l
r
2
a
P
r Q
l
FT


P

l 2

Q
a

l sin 13.2kN
y
FAx FAy
FT
x
A
FAx T cos 11.43kN FAy 2.1kN
rB Pr
Q
练习：刚架ABCD的A处为固定铰支座，D处为辊轴支座。此
刚架上有水平载荷和垂直载荷。已知F1=10 kN，F2=20 kN，
第三章 平面一般力系
§3-1 平面一般力系的概念 §3-2 平面一般力系向作用面内一点简化 §3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程§34 物体习题的平衡问题 §3-5 考虑摩擦时的平衡问题
【本章重点内容】
平面一般力系向作用面内一点简化 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
§3-1 平面一般力系的概念
(4)若 FR 0，M，O则原0力系是平衡力系。
练习
练习
四、平面固定端约束
固定端约束: 物体的一端完全固定在另一个物体上。
约束反力
①认为Fi这群力在同一平面内;
四、平面固定端约束
ur ur uur 固定端约束简化： A固定端约束简化为 F Ax F Ay M A
平面任意力系
主矢、主矩
固端约束力
简化
分解主矢
=
=
≠
=
第三章 平面一般力系
§3-3 平面一般力系的平衡方程及应用
§3-3平面一般力系的 平衡方程
一、平面一般力系的平衡条件
物体在平面一般力系的作用下平衡的充分和必要条
件是：力系的主矢和力系对任意点的主矩都等于零。

即

FR

0
Mo 0
主矢和力系对任意点的主矩分别为：
例8 已知图示物体系上的各力M、q、F，
判断物体系是否是静定问题。
解: AC、CD、B杆组成物体系。
BD杆为二力杆，力为FB，
分别画AC、CD杆的受力图。
ur F

cy
AC杆的受力图，约束力5个，
§3-1 平面一般力系的概念
平面一般力系 ：
作用在物体上诸力的作用线都分布在同一平面内， 既不汇交于同一点，也不完全平行，这种力系称为 平面一般力系。 它是工程实际中最常见的力系。
§3-2 平面一般力系向作用面内一点简 化
F1 F1
M 1 M 0 (F1)


平面汇交力系的合成：
x
A
FAx T cos 11.43kN FAy 2.1kN
rB Pr
Q
练习：
如图所示为高炉加料小车。小车由钢索牵引沿倾角为 a=30°的轨道匀速上升，已知小车的质量G=10kN，绳 与斜面平行，a=0．5m，b=0．2m，不计摩擦。求钢 丝绳的拉力及轨道对车轮的约束力。
练习

30kN

F x

0
FAx F1 F sin 6 0 0 0
FAx 316.4kN

F y

0
FAy P F cos 60 0 FAy 300kN
MA 0
M A M F 1 l F c o s 6 0 l F sin 6 0 3l 0
Q=q ·l (上图中为Q=q · 2a)
例5 已知：P , q , a , M p a ;
求： 支座A、B处的约束力。
解：取AB梁，画受力图。
Fx 0
Leabharlann Baidu
FAx 0
MA 0
FB 4a M P 2a q 2a a 0 y
解得
FB

3 4
P

1 2
qa
解： （1）取梁为研究对象。 （2）受力分析如图。
q
O
a
M
A
a
F
B
a
y qa
O
a
FAy M
FAx
A
a
FBy
B
a
F
x
y qa
O
a
(3) 列平衡方程：
FAy M
FAx
A
a
FBy
B
a
F
x
Fx 0, FAx 0
Fy 0, FAy FBy F qa 0 a
MA (F) 0, qa 2 M F 2a FBy a 0
解得
MA 1188kN m
三、平面平行力系的平衡方程
平面平行力系
例题
练习
第三章 平面一般力系
§3-4 物体系统的平衡问题
3、静定和静不定问题
物体系统的平衡问题
以上讨论的都是单个物体的平衡问题。对 于物体系统的平衡问题，其要点在于如何 正确选择研究对象，一旦确定了研究对象 ，则计算步骤与单个物体的计算步骤完全 一样。下面举例讲解如何正确选择研究对 象的问题。
FR
Fi
Fi
平面力偶系的合成：
M O M i M O (Fi )
合力 合力偶
二、主矢与主矩的定义
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关。 当提到主矩时必须明确对哪一点而言。
三、主矢和主矩的计算
主矢的计算方法与汇交力系的计算方法相同。
主矢的计算：
解析法：
(4) 求解：
FAx F1 10 kN FAy (F2 F1) / 2 5 kN FDy 15 kN
练习： 水平外伸梁如图所示。若均布载荷q=20kN/m， F=20kN，力偶矩M=20kN·m ，a=0.8m，求A、B点的 约束反力。
q
O
a
M
A
a
F
B
a
例 水平外伸梁如图所示。若均布载荷q=20kN/m，F=20kN，力偶矩 M=20kN·m ，a=0.8m，求A、B点的约束反力。

F y

0
FAy q 2a P FB 0
x
解得
FAy

P 4

3 2
qa
练习
练习
例6 已知：P 1 0 0 k N , M 2 0 k N m ,
q 20 kN m , l 1m ; F 400kN ,
求： 固定端A处约束力。
解：
F1

1 2
q
3l
3）解平衡方程
2
a
P
r Q
FT


P

l 2

Qa

l sin 13.2kN
l
y
FT
由（1）和（2）式得
FAx FAy
x
A
FAx T cos 11.43kN FAy 2.1kN
rB Pr
Q
例题 悬臂吊车如图示，横梁AB长l＝2.5m；重量P＝1.2kN； 拉杆CB倾斜角α＝450，质量不计。载荷Q＝7.5kN；

FAx
l sin 13.2kN
y
FAy
A
FT
x rB Pr
Q
例题 悬臂吊车如图示，横梁AB长l＝2.5m；重量P＝1.2kN； 拉杆CB倾斜角α＝450，质量不计。载荷Q＝7.5kN；
求图示位置a＝2m时，拉杆的拉力和铰链A的约束反力。
解： 2） 写平衡方程
Fx 0 FAx FT cos 0
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
M O M O ( Fi )
一、平面一般力系的平衡条件
因为
F

R

( Fx )2 ( Fy )2
M O M O ( Fi )
平面任意力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0 M o 0
平面任意力系平衡的解析条件：
FRx
Fix
Fix
Fx


FRy Fiy Fiy Fy
主矢大小 FR ( Fix )2 ( Fiy )2
方向
cos(F
'R
,i
)

Fix FR
主矢作用点： 简化中心
cos(F
'R ,
j)

Fiy FR
简化结果及分析
结果：平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢和一个主矩，主 矢的大小和方向与简化中心的选择无关。主矩的值一般与简化中心的选 择有关。
C
2）写平衡方程
Fx 0 FAx FT cos 0
（1） A
B
Fy 0 FAy P Q FT sin 0 （2）
M A
F
0
FT
sin

l

P

l 2

Qa

0
（3）
l
r
2
a
P
r Q
l
3）解平衡方程
由（3）式
FT


P

l 2

Qa

F x

0

F y

0
FAx Fc cos 450 0 FAy Fc sin 450 P 0
FAx 20kN , FAy 10kN
讨论
平面任意力系平衡方程的其他形式
二、平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式

F x

0

F y

0
M A 0
二矩式

F x

0
M A 0
M B 0
A, B 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
三矩式
M A 0 M B 0 M C 0
A, B,C 三个取矩点，不得共线
例题 悬臂吊车如图示，横梁AB长l＝2.5m；重量P＝1.2kN； 拉杆CB倾斜角α＝450，质量不计。载荷Q＝7.5kN；
(4) 联立求解：
FAy 24 kN,
FAx 0,
FBy 12 kN
练习
斜坡倾角为30̊
例题
均布荷载
均匀连续分布的力叫均布荷载； 均布荷载作用范围内，单位长度上承受
的力叫载荷集度q. 均布荷载的合力Q在均布荷载作用范围
的中点（图中不画），Q的大小等于载 荷集度与均布荷载分布长度的乘积。
求图示位置a＝2m时，拉杆的拉力和铰链A的约束反力。
解： 2） 写平衡方程
Fx 0 FAx FT cos 0
C （1）
Fy 0 FAy P Q FT sin 0 （2）
M A F 0
FT
sin

l

P

l 2

Qa

0
（3）
A
l
B
r