第十八章隐函数定理及其应用学习题课

第十八章隐函数定理及其应用习题课

一 疑难问题与注意事项

1．是否所有的方程都可以确定隐函数？是否隐函数都可以有显函数形式？

答：不是所有的方程都可以确定隐函数，例如方程2

2

x y c +=，当0c >时，不能确定任何函数()f x ，使得2

2

[()]x f x c +≡，只有当0c <时，才能确定隐函数.

隐函数有的不可以用显示表示出来，例如方程1

sin 02

y x y --

=能确定定义在(,)-∞+∞上的函数()f x ，使得

1

()sin ()02

f x x f x --≡.

但这个函数()f x 却无法用x 的算式来表达.

2．在隐函数定理中，若00(,)0y F x y =，则一定不能确定隐函数()y f x =吗？ 答：不对，隐函数定理的条件是充分条件，不满足隐函数定理条件时可能确定隐函数，也可能不确定隐函数.我们只能用隐函数定理不好判断是否存在隐函数.例如方程

033=-x y 在)0,0(不满足(0,0)0y F =,但仍能确定惟一的连续函数x y =.例如:

0)(),(22222=+-+=y x y x y x F ,

由于0)0,0(=F ,F 与y y x y F y 2)(42

2

++=连续，故满足(i)（ii ）（iii ）,但因0)0,0(=y F , 致使在)0,0(的无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一隐函数（由图像对任意x 属于)0,0(的邻域，不能保证有唯一的y 来对应）.

3．求隐函数的一阶导数有哪些方法？ 答：法1：用隐函数定理

注意：在用隐函数定理时，对x 求导把y 看作常数，对y 求导把x 看作常数. 法2：把(),0F x y =看作复合函数，对方程两边求导，注意此时y 是x 的函数. 法3：全微分法

对(),0F x y =两边微分(),0dF x y =，即0x y F dx F dy +=，则有y x

F dy

dx F =-. 4．在隐函数组定理中，若)

,()

,(v u G F J ∂∂=

在点0P 等于零，则一定不能确定

),(y x f u =,),(y x g v =

吗？

答 不对，隐函数组定理的条件是充分条件，只能讲只有．．,u v 难以肯定能否作为以．．．．．．．．．,x y 为．自变量的隐函数．．．．．．．

. 5.空间曲线⎩

⎨

⎧==0),,(,0),,(z y x G z y x F L ：在0P 处的切线方程 ()

()().),(,),(,),(,0

000P P P y x G F z z x z G F y y z y G F x x ∂∂-=

∂∂-=

∂∂-

中若某一个分母为0，怎么理解？

答 若

()0

(,)

0,P

F G y z ∂=∂，则()()0

0000,,(,)(,)P P

x x y y z z F G F G z x x y ---==∂∂∂∂理解为 ()()000

00,,(,)(,)P P

y y z z F G F G z x x y x x

--⎧=⎪∂∂⎪

⎨∂∂⎪

⎪=⎩

.

注

()()()

0,)

,(,

,),(,,),(P P P y x G F x z G F z y G F ∂∂∂∂∂∂不全为零.

6.若),(00y x 是函数(,)z f x y =在条件(,)0x y ϕ=下的极值点，那么),(00y x 也是函

数(,)z

f x y =的极值点，对吗？

答 不对，反例11,22⎛⎫

⎪⎝⎭

是22

z x y =+在条件1x y +=下的极值点，但11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭

不是

22z x y =+的极值点.

二 典型例题

1．方程xy

e y x =+sin cos 能否在原点的某邻域内确定隐函数)(x

f y =或)(y

g x =？

解：令xy

e y x y x F -+=sin cos ),(，则有 Ⅰ）),(y x F 在原点的某邻域内连续； Ⅱ）0)0,0(=F ；

Ⅲ）xy

x ye x y x F --=sin ),(，xy

y xe y y x F -=cos ),(在原点的某邻域内连续； Ⅳ）01)0,0(≠=y F ，0)0,0(=x F ．

故由隐函数存在唯一性定理知，方程xy

e y x =+sin cos 在原点的某邻域内可确定隐函数

)(x f y =，但不知道能否确定)(y g x =．

注 注意对哪个变量求偏导不为0，就把该变量作为应变量，其它变量是自变量. 注 定理条件是充分的，但不满足定理条件时，就不好用隐函数定理. 2．方程1ln =++xz

e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个

变量的函数?

解：令1ln )(-++=xz

e

y z xy x F ,则

Ⅰ）),,(z y x F 在点)1,1,0(的某邻域内连续； Ⅱ）0)1,1,0(=F ；

Ⅲ）xz

x ze y z y x F +=),,(，y

z x z y x F y +=),,(,xz

z xe y z y x F +=ln ),,(均在上述邻域内连续；

Ⅳ）02)1,1,0(≠=x F ，01)1,1,0(≠=y F ,0)1,1,0(=z F

故由隐函数存在唯一性定理知，在点)1,1,0(的某邻域内原方程能确定出方程函数

),(z y f x =和),(z x g y =，不知道能否确定(,)z h x y =．

3．函数222

(,)(1)0F x y y x x =--=在哪些近点旁可唯一决定单值连续，且有连续导数的函数()y y x =．

解：由于(,)F x y 及3

42x F x x =-，2y F y =都在全平面连续，且当0y ≠时0y F ≠，

故由隐函数定理可知满足条件222(1)00

y x x y ⎧--=⎨≠⎩的点(,)x y 的近旁，方程