0802数量积与向量积-1

)
0
由分配律
a
a
a
b
a
c
b
a
b
b
b
c
c
a
c
b
c
c
0
3
2(a
b
b
c
c
a
)
0
a
b
b
a
c
a
3
2
错误写法：
(a
b
c)2
a2
b
2
c2
2ab
2bc
2ca
0
向量的乘法有：
a
b
或
a
b
2 计
算 已a知 ba,bb,c为c 单c
位向
a.
量，
且a
b
c
0,
解 由 a b c 0 有
a (a b c )a 0 a a a b a c 0 即 1 a b a c 0 a b a c 1 (1) 同理由 b ( a b c ) b 0 a b b c 1 (2) 由 c ( a b c ) c 0 c a b c 1 (3)
|
13 6 2,
|
a
c
|
3
2.
2
四、小结与教学基本要求: ◆理解和掌握:
◆向量的数量积的定义，运算律，坐标表示式， 投影，夹角等计算方法.
习题 8-2 ( P22): 2, 6, 7, 12
2 计
算 已a知 ba,bb,c为c 单c
位向
a.
量，
且a
b
c
0,
解：(a
b
c
)
(a
b
c
练习 1.(1,0,1) (3,4,6) ___3_.
2.证明向量c与向量
( a
c)
b
(b
c)a垂直.
3.已知a
(1,1,1),
b
(1,1,1),
求a
0
,
a与b的夹角.
2.证
c[(与a (ca)bc)b(b (cb)ac])ac垂直(a.
c)(b
c)
(b
c)(a
c)
0,
3.解
|
a
|
12 12 12
第二节 数量积与向量积-1
一、数量积
实例
W
|F
||
s
|
cos
.
F
s
A
B
定义
设有向量a,
b , 其夹角为
,
规定
a
b
|
a
||
b
|
cos
,
(a,b),
b
a
称a b为a与b的数量积.
W F s.
◆数量积也称为“点积”、“内积”.
◆关于数量积的说明：
(1)
a
a
|
a
|2
,
| a |
0.
例1
证明向量
p
b
a
b
a
与
a
垂直,
其中a
0.
证明
p
a
b
a
a a
a a
b
a
a
a
b
a
a
b
0,
p
a.
例2
已知
a
(1,2,3), b
(5,1,1),试判定a
b.
解
a
b
1
5
2
(1)
(3)
1
0,
a b.
例3
已a在知b上a 的(1投,1,影4.),
b
(1,2,2),求a
(1) (2) (3) : 2(a b b c c a ) 3
于是，
a
b
b
c
c
a
3 2
.
（1）交换律：
a b b a;
（2）分配律：
(a
b)
c
a
c
b
c;
（3）结合律：
(a)
b
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(b )
(a
b ),
(a)
( b )
(a
b ).
b
a
a
b
|
a
||
b
|
cos
| b | cos
Prjab
(b)a ,
|
a
|
cos
Prjba
(a)b ,
a b
b , a与b的夹角,
解
(1)
a
b
1
1
1
(2)
(4)
2
9.
(2) cos a b
| a || b |
9 12 12 (4)2 12 (2)2 22
9 3 23
1, 2
arccos(
1 ) 3 .
24
(3)
Prjba
a
b
|b|
9 3. 3
Prjba | a | cos
设
a (ax ,ay ,az ),
a
b
|
a
||
b
|
cos
,
b
(bx
,
b
y
,
bz
)
cos a b
,
| a || b |
cos
axbx a yby azbz
.
a
x
2
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
◆两向量垂直的充要条件:
a
b a b
0
axbx
ayby
azbz
a a.
证 0, a a | a || a | cos | a |2 .
(2)
a
b
0
a b.
证
()
a
b
0,
当|
a
||
b
|
0时,结论显然成立;
当
|
a
||
b
|
0时,
必有cos
0,
,
ab.
2
() ab, , cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
0.
◆数量积的运算律：
| a
| Prjab
| b
| Prjba.
Prjab
a b |a|
,
Prjba
a
b
|b|
.
◆利设用a坐 标(a计x ,算a y数,a量z ),积b: (bx ,by,bz ),
a b (axi ay j azk) (bxi by j bzk )
i j k,| i || j|| k | 1,
B M
则AMB等于向量MA与MB的夹角,
MA (1,1,0), MB (1,0,1),
cosAMB
MA MB
| MA | | MB |
1 1 , AMB .
2 2 2
3
例5
设
|
a
|
3,|
b
|
2, a与b的夹角余弦cos
1
,
求
|
2a
3b
|
.
3
解
| 2a 3b |
(2a 3b) (2a 3b)
3,
a0
1
a
1
(1,1,1) ( 1
,
1
,
1 );
|a|
3
333
cos(a,
b)
a b
| a || b |
1 1, 33 3
(a,
b)
arccos
1
.
3
例4 已知三点M(1,1,1), A(2,2,1), B(2,1,2),
A
求AMB的内角AMB. [P16, L2]
解 作向量MA, MB,
i j j k k i 0,
i i j j k k 1.
a
b
(ax ,a y ,az ) (bx ,by ,bz )
axbx a yby azbz
数量积的坐标表示式
例如
已知a
(1,2,3),
b
(1,1,1),则a
b
___6__
.
◆利用坐标计算向量的夹角余弦:
4a a 12a b 9b b
4
|
a
|2
12 |
a
||
b
| cos
9
|
b
|2
4 3 12 3 2 1 9 4 2 6. 3
练习
已知
|
a
||
b
|
1,|
c
|
2,a与b的夹角为 ,
a与c的夹角余弦为 1 ,
求
|
2a
3b
|,|
a
4 c
|
.
4
|
2a
3b