不等式教材分析(苏教版)

第3章不等式教材分析

本章教材是在初中介绍了不等式的概念，学习了一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法，高一学习了二次函数的基础上，进一步研究不等关系，一元二次不等式，二元一次不等式组，简单的线性规划，基本不等式的证明及应用。但是我们将把二元一次不等式组及简单线性规划放到高二圆锥曲线之后学习。

一、本章内容的地位和作用:

1.与过去的教材相比，新教材强调了不等式是一种“数学模型”，是刻画现实世界中不等关系的数学工具，对培养学生解决简单实际问题的能力，发展学生的数学应用意识非常有帮助;

2.不等式与数、式、方程、函数、三角等内容有密切的联系，讨论方程或方程组的解的情况，研究函数的定义域、值域、单调性、最值等，都要经常用到不等式的知识。可见，不等式在中学数学里占有重要地位，是进一步学习数学的基础知识;

3. 08年新考试说明中将07年中14个C 级要求改为8个C 级要求，一元二次不等式和基本不等式就是其中的2个，可见高考非常重视对这一章内容的考察。

二、本章的教学目标:

1.通过不等式的教学，使学生感受到在现实世界中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值，培养和发展学生的数学应用意识；

2.带领学生体验“分析现实原型-----概况和抽象-----建立不等式-----研究不等式模型-----解决实际问题”的过程，使学生能从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；

3.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；掌握一元二次不等式的解法，特别注意数形结合思想的渗透，使学生进一步体会到数形结合思想的实质及其重要性；

4. 通过探索，学生能掌握基本不等式 ≤2a b

+（a ，b ≥0）的证明过程；

用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问

题）。

三、课时安排：

按照教材建议，本章教学约需11课时，具体分配如下：

3．1不等关系约1课时

3．2一元二次不等式约3课时

3．4．1基本不等式的证明约2课时

3．4．2基本不等式的应用约3课时

本章复习与小结约2课时

注：可以根据学生的实际掌握情况进行调整。

四、各节内容扼要分析：

3．1不等关系：

本小节重点是培养学生从具体情境中抽象出不等式模型来，教材上提供了三个实际生活中的例子，分别对应为一元一次不等式，一元二次不等式和二元一次不等式组模型，既可以让学生感受到日常生活中存在着大量的不等关系，体验建立数学模型的过程，也为接下来几节内容的学习埋下伏笔。

这一节关键在于如何引导学生对实际问题中的数量关系进行分析，找出其中不等关系，进而建立不等式。由于我们教学计划的调整我觉得可以不引用实例3，腾出一些时间给学生自己思考和讨论，举一些实际生活中蕴含不等式关系的例子。3．2一元二次不等式：

第一课时重点在于讲解一元二次不等式的求解方法。教材借用了第一节中的实例2先给出一元二次不等式的定义，然后讨论这个不等式的求解，要掌握一元二次不等式的解法，主要就是要掌握利用二次函数图象寻找一元二次不等式解集的方法，而这又需先了解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.而要建立这三者之间的联系，则需要学生能利用数形结合的思想去分析和思考，这无疑将成为学生学习本节内容的最大困难，所以教师要在这一点上引导好，可以通过几何画板等辅助教学，强化理解函数图象与方程的解、不等式的解集之间的关系。然后通过例1强化刚才的方法，再推广到一般情形总结出其算法。在这一节中要注意讲练结合，学生需要自己动手体验，另外最后归纳其解法时教材采用了流程图，融入了算法的思想，不仅使学生对求解过程认识更清晰，也实行了不

等式的上机求解，体现了现代信息技术与数学的融合。

第二课时重点是一元二次不等式的应用。教材引用了三个实例，分别是如何用长度一定的绳子围成面积一定的矩形，服装厂获利最大问题，刹车距离问题，完成这些题第一步都需要先把问题情境转化为一元二次不等式模型，其实有了第一节做铺垫，学生已经具备一定的建立不等式模型的能力，所以不妨先给学生自己思考的空间，必要时教师给与提示。

另外在例题情境的设计上我觉得教师可以尝试做些修改或者润色，增强趣味性和生活应用性，比如用绳子围成矩形，学生不禁想围成矩形可以用来干嘛，我们不妨创设用长度一定的篱笆围成一个养鸡圈的情境，讲解完还可以变动一下，比如一边靠墙又该如何设置长与宽。总之教学活动可以围绕我们的教学目标进行修饰，尽量使课堂趣味性强些，让学生全部参与课堂。

第三课时总结这一节的主要知识，可以弥补前两次课的遗留问题，另外选几道难度稍大的例题巩固提高，比如下面几类问题：1.可以化为一元二次不等式的简单分式不等式的求解；2.不等式中一类恒成立问题；3.讲一元二次不等式转化为一次不等式（组）求解等。

3．4．1基本不等式的证明：

本节教材先创设了“天平秤物体”一情境导入，然后用一些具体数试验猜想得到基本不等式，然后采用三种方法证明确实成立，让学生经历探索研究问题的过程，三种方法比较如下：

一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易人手，因此，通

常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的。证明不等式的方法，教材只介绍了三种基本方法。教学中，主要应着眼于培养学生的能力，使学生能针对具体问题进行具体分析，灵活地运用各种证法。对于这几种证明方法，只是为了教学的需要，才把它们分开来讲。在运用时，不仅可以根据实际情况灵活选择，而且必要时，可以并且应该综合运用它们去证明同一个问题。

通过基本不等式的证明过程，学生熟练掌握三种证明方法，并了解证明题的书写规范，在此基础上，证明其它一些简单的不等式，例1和例2都是非常经典的例子，学生需要掌握应用基本不等式求最值时应该满足的三个条件“一正二定三相等”，这些往往是学生容易忽略的地方，可以例题的设置让学生明白验证条件的必要性。

3．4．2基本不等式的应用：

本节内容虽然不涉及新知识点，但对学生的要求比较高，通过这一节内容的学习，学生可以进一步体验建立不等式模型的过程，提高解决实际问题的能力，另外学生要能够熟练运用基本不等式求最值，掌握其基本方法。

小节与复习分为三个部分：第一部分概括了本章学过的主要内容可以给出本章的知识结构框图；第二部分是引导学生对基本题型，基本方法做一次系统总结和归纳；第三部分给出一组复习题，在习题中检验学生的掌握情况。