弹簧模型功能问题

弹簧模型（功能问题）

［模型概述］

弹力做功对应的弹簧势能，重力做功对应的重力势能有区别，但也有相似。 弹簧类题的动量分析和能量分析

1．受力分析、运动分析明确

（1）何时：v max 、v min 、E pmax 、E pmin 、E k 总max 、E k 总min 、E kimax 、E kimin 弹簧伸长最长 E

pmax 、

E k 总max

（2）三个典型状态 弹簧压缩最短

v 最大

恢复原长

v 不一定最小

2．动量守恒的系统和过程的确定（F 外= 0之后）

3．能量守恒的系统和过程的确定（注意：v 突变中的能量转化）

例题1、如图所示，物体A 静止在光滑的水平面上，A 的左边

固定有轻质弹簧，与A 质量相等的物体B 以速度v 向A 运动并

与弹簧发生碰撞，A 、B 始终沿同一直线运动，则

A 、

B 组成的

系统动能损失最大的时刻是( )

A ．A 开始运动时

B ．A 的速度等于v 时

C ．弹簧压缩至最短时

D ．A 和B 的速度相等时

例题2、如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量

为m 1和m 2的两物块相连接，并且静止在光滑的水

平面上．现使m 1瞬时获得水平向右的速度3 m/s ，

以此刻为时间零点，两物块的速度随时间变化的

规律如图乙所示，从图象信息可得( )

A ．在t 1、t 3时刻两物块达到共同速度 1 m/s

且弹簧都是处于压缩状态

B ．从t 3到t 4时刻弹簧由伸长状态逐渐恢复原长

C ．两物体的质量之比为m 1∶m 2＝1∶2

D ．在t 2时刻两物体的动能之比为

E K1∶E K2＝1∶2

例题3、．如图14所示，水平轨道AB 与半径为R 的竖直半圆形轨道BC 相切于B 点。质量为2m 和m 的a 、b 两个小滑块（可视为质点）原来静止于水平轨道上，其中小滑块a 与一轻弹簧相连。某一瞬间给小滑块a 一冲量使其获得gR v 230 的初速度向右冲向小滑块b ，与b 碰撞后弹簧不与b 相粘连，且小滑块b 在到达B 点之前已经和弹簧分离，不计一切摩擦，求： （1）a 和b 在碰撞过程中弹簧获得的最大弹性势能； 图14

（2）小滑块b 经过圆形轨道的B 点时对轨道的压力；

（3）试通过计算说明小滑块b 能否到达圆形轨道的最高点C 。

例题4、如图所示，半径为R 的光滑半圆环轨道与高为10R 的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD 相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡。在水平轨道上，轻持弹簧被a 、b 两小球挤压，处于静止状态。同时释放两个小球，a 球恰好能通过圆环轨道最高点A ，b 球恰好能到达斜轨道的最高

点B 。已知a 球质量为m ，重力加速度为g 。求：

(1)a 球释放时的速度大小；

(2)b 球释放时的速度大小；

(3)释放小球前弹簧的弹性势能。

典型训练

1.如图所示，半径为R 的光滑半圆环轨道竖直固定在一

水平光滑的桌面上，桌距水平地面的高度也为R 。在桌面上轻质弹簧被a 、b 两个小球挤压（小球与弹簧不拴接），处于静止状态。同时释放两个小球，小球a 、b 与弹簧在水平桌面上分离后，a 球从B 点滑上光滑半圆环轨道并恰能通过半圆环轨道最高点A ，b 球则从桌面C 点滑出后落到水平地面上，落地点距桌子右侧的水平距离为

R 25。已知小球a 质量为m ，重力加速度为g 。

求：（1）释放后a 球离开弹簧时的速度大小；

(2）释放后b 球离开弹簧时的速度大小；

(3）释放小球前弹簧具有的弹性势能。 2.如图所示，在倾角θ＝30

A 和

B 用劲度系数为k 将

C 从斜面上某点由静止释放，B 和C 后的运动过程中A 恰好不离开挡板．整个过程中，性限度以内。求：

(1)物块B 上升的最高点与最初位置之间的距离；

(2)物块C 释放时离B 物块的距离d ．

3、如图所示，半径R =0.5m 的光滑半圆轨道竖直固定在高

h =O.8m 的光滑水平台上并与平台

平滑连接，平台CD 长L =1.2m ．平台上有一用水平轻质细线栓接的完全相同的物块m 1和 m 2组成的装置Q ，Q 处于静止状态。装置Q 中两物块之间有一处于压缩状态的轻质小弹簧 （物块与弹簧不栓接）．某时刻装置Q 中细线断开，待弹簧恢复原长后，m 1、m 2两物块同时 获得大小相等、方向相反的水平速度，m 1经半圆轨道的最高点A 后，落在水平地面上的M 点，m 2落在水平地面上的P 点． 已知m l = m 2 = 0.2kg ，不计空气阻力，g 取10m ／s 2

．若两 物块之间弹簧被压缩时所具有的弹性势能为7.2J ，求

（1）物块m 1通过平台到达半圆轨道的最高点A 时对轨道的压力；

（2）物块m 1和m 2相继落到水平地面时PM 两点之间的水平间距.

4、如图所示，光滑的水平导轨MN 右端N 处与水平传送带理想连接，传送带长度L=0.8m ，皮带以恒定速率v=3.0m/s 向右匀速运动。传送带的右端处平滑连接着一个在竖直平面内、半径为R=0.4m 的光滑半圆轨道PQ ，两个质量均为m=0.2kg 的滑块A 、B 置于水平导轨MN 上，开始时滑块A 、B 之间用细绳相连，其间有一压缩的轻弹簧，系统处于静止状态。现使细绳断开，弹簧伸展，滑块B 脱离弹簧后滑上传送带，从右端滑出并沿半圆轨道运动到最高点Q 后水平飞出，又正好落回N 点。已知滑块B 与

传送带之间的动摩擦因数μ=

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5，取g=10m ／s 2。求：（1）滑块B 到达Q 点时速度的大小； （2）滑块B 在半圆轨道P 处对轨道的压力； （3）压缩的轻弹簧的弹性势能E p 。 参考答案

例题1、解析：开始压缩时，A 的速度为零，B

的速度最大，随着弹簧的压缩，弹力增大，对B 向左，对A 向右，使B 减速，使A 加速，在A 和B 的速度相等时，弹簧压缩至最短，弹性势能最大，系统动能损失最大．接着，B 继续减速，A 继续加速，弹簧开始恢复原长，弹性势能减少，系统动能增大．

答案：CD

例题2．解析：在t 1、t 3时刻两物块达到共同速度1 m/s ，但t 1时刻弹簧处于最大压缩状态，t 3时刻弹簧处于最大伸长状态，从t 3到t 4时刻弹簧由伸长状态逐渐恢复原长；整个过程动

量守恒，有m 1·3＝(m 1＋m 2)·1，解得m 1∶m 2＝1∶2；动能之比为E k1∶E k2＝12m 1v 21∶12

m 2v 22＝1∶8.

答案：BC

例题3、解：（1）a 与b 碰撞达到共速时弹簧被压缩至最短，弹性势能最大。设此时ab 的速度为v ，则由系统的动量守恒可得

2m v 0＝3m v

由机械能守恒定律 解得：mgR E 4

3pm = （2分） （2）当弹簧恢复原长时弹性势能为零，b 开始离开弹簧，此时b 的速度达到最大值，并以此速度在水平轨道上向前匀速运动。设此时a 、b 的速度分别为v 1和v 2，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得

2m v 0＝2m v 1+m v 2

解得： gR v 22= （1分）

滑块b 到达B 时，根据牛顿第二定律有

R

v m mg N 22=- 解得 N =5mg （2分） 根据牛顿第三定律滑块b 在B 点对轨道的压力N ′=5mg ，方向竖直向下。 （1分）

（3）设b 恰能到达最高点C 点，且在C 点速度为v C ，此时轨道对滑块的压力为零，滑块只受重力，由牛顿第二定律