苏教版学高中数学必修一函数函数的单调性函数的单调性讲义

学习目

标核心素养

１．理解并掌握单调增（减）函数的定义及其几何意义．（重点）２．会用单调性的定义证明函数的单调性．（重点、难点）３．会求函数的单调区间．（重点、难点）通过学习本节内容，提升学生的直观想象和逻辑推理素养.

１．单调增（减）函数的概念

设函数y＝f（x）的定义域为A，区间I⊆A.

如果对于区间I内的任意两个值x１，x２.当x１

（１）f（x１）

１称y＝f（x）在I上为单调增函数．

２I称为y＝f（x）的单调增区间．

（２）f（x１）>f（x２）

１称y＝f（x）在I上为单调减函数．

２I称为y＝f（x）的单调减区间．

２．函数的单调性与单调区间

如果函数y＝f（x）在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．

思考：在增、减函数定义中，能否把“任意两个值x１，x２”改为“存在两个值x１，x２”？

[提示] 不能．如图所示，虽是f（—１）

１．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）所有函数在定义域上都具有单调性．（）

（２）增、减函数定义中的“任意x１，x２∈D”可以改为“存在x１，x２∈D”．（）

（３）若函数f（x）在实数集R上是减函数，则f（0）＞f（１）．（）

[答案] （１）×（２）×（３）√

[提示] （１）×.比如二次函数y＝x２在R上不具有单调性．

（２）×.必须对所有的都成立才能说明单调．

（３）√.减函数中自变量越小函数值越大．

２．函数f（x）的图象如图所示，则函数的单调递增区间是_____．

[—１,２] [在区间[—１,２]上，函数f（x）的图象由左至右“上升”，即在区间[—１,２]上，f（x）随着x的增大而增大，∴在[—１,２]上，f（x）为增函数．]

３．若函数f（x）在R上是减函数，且f（a）＞f（b），则a与b的大小关系是__________．

a＜b[由减函数的定义知a＜b.]

利用函数图象求单调区间

（１）y＝x２—４；（２）y＝—错误!；（３）f（x）＝错误!

思路点拨：在图象上看从左向右上升的部分即递增，从左向右下降的部分即递减．

[解] 三个函数图象如图（１）（２）（３）．

（１）（２）（３）

（１）y＝x２—４的单调递减区间为（—∞，0]，递增区间为[0，＋∞）．

（２）y＝—错误!的单调增区间为（—∞，0），（0，＋∞），无递减区间．

（３）f（x）的单调增区间为（—∞，0]，[２，＋∞），递减区间为[0,２]．

１．应用图象确定单调性时，应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升”或“下降”趋势来找到函数的递增或递减区间，但应注意端点是否在定义域之内．

２．当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开，或用“和”连接，但不能用“或”和“∪”连接．

１．函数f（x）＝—x２＋|x|（x∈R）的单调递增区间为________．

错误!，错误![（１）f（x）＝—x２＋|x|＝错误!

图象如图所示：

∴f（x）的单调增区间为错误!，错误!.]

函数单调性的判断与证明

【例２】用定义证明函数f（x）＝错误!在（—１，＋∞）上是减函数．

思路点拨：解答本题可直接利用函数单调性的定义来判断．

[证明] 设x１，x２是区间（—１，＋∞）上任意两个实数，且x１＜x２，则f（x１）—f（x２）＝错误!—错误!＝错误!.

∵—１＜x１＜x２，∴x２—x１＞0，x１＋１＞0，x２＋１＞0，

∴错误!＞0，即f（x１）＞f（x２），

∴y＝错误!在（—１，＋∞）上是减函数．

用定义证明（判断）函数单调性的步骤

２．证明函数f（x）＝错误!在（１，＋∞）上单调递增．

[证明] 任取x１，x２∈（１，＋∞），且x１

f（x１）—f（x２）＝错误!—错误!＝错误!—错误!

＝（x１—x２）＋错误!＝（x１—x２）错误!.

∵x１，x２>１，∴x１x２>１，∴x１x２—１>0．

又x１

∴f（x）在（１，＋∞）上单调递增．

单调性的应用

１．如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？

[提示] 先判断函数f（x）在区间D上的单调性，如果函数f（x）在D上是增函数，当x１

２．如果已知函数的单调性和函数值的大小，能否判断对应自变量的大小？

[提示] 能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f符号，转化为自变量的大小关系．

【例３】已知函数f（x）是定义在[—２,２]上的增函数，且f（x—２）

范围为________．

思路点拨：根据单调性可以去掉f，还应考虑定义域．

错误![∵f（x）是定义在[—２,２]上的增函数，且f（x—２）

∴x—２<１—x，∴x<错误!.

又f（x）的定义域为[—２,２]，

∴错误!

∴错误!∴0≤x≤３，综上，0≤x<错误!.]

１．利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y＝f（x）在给定区间上是增函数，则当x１x２时，f（x１）>f（x２）；另一方面是逆向应用，即若y＝f（x）在给定区间上是增函数，则当f（x１）f（x２）时，x１>x２.当y＝f（x）在给定区间上是减函数时，同理可得相应结论．

２．根据函数的单调性研究参数的取值范围，往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式，此时常需要将含参数的变量单独移到一侧，用变量的范围推出参数的范围．

３．已知f（x）在R上为减函数且f（２m）≥f（9—m），则m的取值范围是________．

m≤３[由题意可得２m≤9—m，∴m≤３．]

１．对函数单调性的理解

（１）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．（２）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x１、x２有以下几个特征：一是任意性，即任意取x１，x２，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x１

（３）单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f（x）是增（减）函数且f（x１）x２）．

（４）并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在