最新第3章-离散傅立叶变换ppt课件

若 F ~(k)X ~(k)Y ~(k)
则 ~ f(n)IDF ~ F (k)S N 1~ x(m )~ y(nm ) m 0
或
N1~y(m)~x(nm)
m0
周期卷积
证：~ f(n ) ID X ~ (k F ) Y ~ (k S ) N 1N k 0 1 X ~ (k ) Y ~ (k )w N kn
n 0
i m
~x(n)
w
kn N
w mk N
N
1
m~x
(
i
)
w
ki N
im
w mk N
N
Fra Baidu bibliotek
1
~x
(i
)
w
ki N
w mk N
X~ ( k )
i0
由于 ~x(n) 与 X~(k) 对称的特点，同样可证明
ID X ~ ( k F l) w S N n ~ x ( ln )
3）共轭对称性
第3章-离散傅立叶变换
有限长序列的傅里叶分析
一、四种信号傅里叶表示
1. 周期为T0的连续时间周期信号
~ x(t) X(n0)ejn0t
n
X(n0)T 10
~ x(t)ejn0tdt
T0
频谱特点： 离散非周期谱
2. 连续时间非周期信号
x(t)21 X(j)ejt d X(j) x(t)ejtdt
习惯上：记 WNej2/N，
则DFS变换对可写为
X~(k) N1~x(n)WNkn DFS~x(n) n0
~x(n)
1 N
N1 k0
X~(k)WNkn
IDFSX~(k)
DFS[·] ——离散傅里叶级数变换
IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。
DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷 长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期 内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所 以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有 用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
~ x(n)1N1X ~(k)ej2/Nk n NK0
利用正弦序列的周期性可求解系数 X~(k) 。
将上式两边乘以 ej(2/N)rn
求和
，并对一个周期
N 1 ~ x (n )e j2 N r n1 N 1 N 1 X ~ (k )e j2 N (k r )n 1 N 1 X ~ (k )N 1 e j2 N (k r )n
2 1[X ~(k)X ~*(Nk)]
2
共轭偶对称分量
DR F ~ x n e S X ~ ek 1 2 [X ~ (k ) X ~ * (N k )]
共轭奇对称分量
DjI F m ~ x S n X ~ o k 1 2 [X ~ (k ) X ~ * (N k )]
4）周期卷积
n 0
N n 0 k 0
N k 0 n 0
N1X ~(k) k0
[N 111 eej2j2 (k( kr)r/)N]
N 1N n01ej(2N )k(r)n 1 0
krsN kr
上式中[ ]部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为
零,所以有 N1~ x(n)ej2NrnX ~(r)
频谱特点： 连续非周期谱
周期为N的正弦序列其基频成分为：
e1(n)ej2/Nn
K次谐波序列为：ek(n)ej2/Nk n
但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的， 这是与连续傅氏级数的不同之处，
即
e j2 /N (k N )n e j2 /N kn
因此
ekN(n)ek(n)
将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到 (N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离 散傅里叶级数只需包含这N个复指数，
n0
或写为
X ~(k)N 1~ x(n)ej 2 N kn n 0
0kN1
1) 可求 N 次谐波的系数
X~(k)
2） X~(k) 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数
3） X~(k) 为周期序列，周期为N。
X~ (k mN ) N 1 ~x (n)e j2 / N (k mN )n n0 N 1 ~x (n)e j2 / N kn X~ (k ) n0
对于复序列 其共轭序列
满足
~x n
~x *n
D~ x * F n S X ~ * k
证:
DFS~x*n N1~x*(n)WNnk
n0
(N1~x(n)WNnk)* X~* k n0
同理:
D~ x * F n S X ~ * k
进一步可得
DFRSe~ x{n}1DF[~ xSn~ x*n]
DDFS的几个主要特性：
假设
都是周期为 N 的两个周期序列，各自的
离散傅里叶级数为： ~ x(n)、 ~ y(n)
1）线性
X~(k)DFS~x(n) Y~(k)DFS~y(n)
a,b为任意常数
D a ~ x ( n F ) b ~ y ( n S ) a X ~ ( k ) b Y ~ ( k )
例： ~x(n) 、 ~y(n) ，周期为 N=7, 宽度分别为 4 和 3 ，求周期卷积。
结果仍为周期序列，周期为 N 。
2）序列移位
D ID F~ xF (SX ~ n( Skm )l)ww N m N n~ xlkX ~(n (k))
证所因D 以为有 ~ x F (n m S ) 及N 1 ~ x (n 都m 是)w 以N k NnN 为 1 周m ~ x ( 期i)w 的N kw 函iN k 数m ，
N 1N k 0 1m N 0 1~ x(m)wN mY ~ k(k)wN nk
m N 0 1 ~ x (m ) N 1N k 0 1 Y ~ (k )w N (n m )k m N 0 1 ~ x (m )~ y (n m )
这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差 别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即 m=0~N-1），称为周期卷积。
•时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个 周期序列。
X ~(k)~ x(n)是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 变换对，这种对称关系可表为：
~ x(n )ID [X ~ F (k)S ]1N 1X ~ (k)ej2 /N nk
N n 0
X ~ (k)D[F ~ x(n S ) ]N 1~ x(n )ej2 /N kn n 0