简单线性规划的应用课件

1．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型： 一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这 些资源能使其完成的任务量最大，收到的效益最好； 二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项 任务耗费的人力、物力资源最少．
2．线性规划应用题需从已知条件中建立数学模型， 然后利用图解法解决问题，在这个过程中，建立模型需 读懂题意，仔细分析，适当引入变量，再利用数学知识 解决，求解程序如下：(1)设出未知数，列出约束条件， 确定目标函数 z＝ax＋by；(2)作出可行域；(3)作出直线 l0： ax＋by＝0；(4)平移 l0 确定最优解；(5)解相关方程组，求 出最优解，从而求出目标函数的最小值或最大值．
整数最优解问题
某运输公司接受了向抗洪抢险地方每天至少运 送 180 吨支援物资的任务，该公司有 8 辆载重为 6 吨的 A 型 卡车与 4 辆载重为 10 吨的 B 型卡车，有 10 名驾驶员，每辆 卡车每天往返的次数是：A 型卡车为 4 次，B 型卡车为 3 次．每辆卡车每天往返的成本费为：A 型卡车为 320 元，B 型卡车为 504 元，请你为该公司调配车辆，使公司所花成本 费最低．
【思路探究】 可先转化为线性规划问题，再利用线性 规划问题的知识求解，注意车辆数应为整数．
【自主解答】 设每天从该公司调出 A 型卡车 x 辆，B
型卡车 y 辆，公司每天所花成本为 z 元，则 z＝320x＋504y，
其中 x，y 满足约束条件
0≤x≤8， 0≤y≤4， x＋y≤10， 24x＋30y≥180， x，y∈N.
二元一次不等式组等价于x5＋x＋y≤2y3≤0090，0， x≥0，y≥0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，
如图阴影部分所示．
作直线 l：3 000x＋2 000y＝0， 即 3x＋2y＝0. 平移直线 l，从图中可知，当直线 l 过 M 点时，目标函数 取得最大值． 联立x5＋x＋y＝2y3＝0090，0.解得yx＝＝210000，， ∴点 M 的坐标为(100，200)． ∴zmax＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)． ∴该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70 万元．
忽视整数最优解致误
0≤x≤7， 0≤y≤4， 设 x，y 满足条件x＋y≤9， 4x＋5y≥30， x∈N，y∈N，
求 z＝4x＋7y 的最小值．
【错解】 作出可行域如图．平移直线 l0：4x＋7y＝0 当直线过 A(7，52)时，z 最小，但考虑到 x，y∈N，即可行域 内离 A 最近的整数点的坐标是(7，1)，所以 x＝7，y＝1 时 z 最小．∴最小值为 35.
(2)设甲公司投入的资金为 x 万元，乙公司投入的资金为 y 万元，由题意，甲、乙公司均无倒闭风险，
y≥x＋5，
需x≥12y＋10，即yy≥ ≤x2＋x－5，20，不等式组所表示的平面
x≥0， y≥0，
x≥0，y≥0.
区域如图所示：
由yy＝ ＝x2＋x－5，20，得 A(25，30)． 故在双方均无倒闭风险的情况下，甲公司至少投入 25 万 元，乙公司至少投入 30 万元．
40y≤2 000.
【答案】 B
2．某同学拿 50 元钱买纪念邮票，票面 8 角的每套 5 张，
票面 2 元的每套 4 张，如果每种至少买 2 套，问共有买法种
数为( )
A ．14
B．15 C．16
D．17
【解析】 设票面 8 角的买 x 套，票面 2 元的买 y 套，
x≥2，
x≥2，
பைடு நூலகம்
由题意得y0≥.8×2，5x＋2×4y≤50，即y2≥x＋2，4y≤25，
1．解答本题关键是准确理解题意，明确有哪些限制条件， 理清题中量与量之间的关系．
2．解决实际问题中的线性规划问题，要先审清题意，然 后通过设元，根据实际问题列出不等式组，写出目标函数， 再根据不等式组画出平面区域，求出目标函数的最值．
2013 年，第 12 届全运会将在辽宁举行，届时旅游市场 将会火爆．一家旅行社计划开发 A、B 两类旅游线路，A 类 每条旅游线路的利润是 0.8 万元，B 类每条旅游线路的利润是 0.5 万元，且 A 类旅游线路不能少于 5 条，B 类旅游线路不能 少于 8 条，两类旅游线路的和不能超过 20 条，则该旅行社能 从这两类旅游线路中获取的最大利润是________万元．
●重点难点 重点：利用线性规划解决实际问题． 难点：把实际问题转化为线性规划问题．
●教学建议 解决线性规划的应用问题时，分析题目的已知条件，找 出约束条件和目标函数是关键．可先将题目中的量分类，列 出表格理清头绪，然后列出不等式(组)寻求约束条件，并就题 目所述找到目标函数，另外若实际问题要求的最优解是整数 解，而利用图解法得到的为非整数解，则应适当调整，其方 法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近 寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得的近似 解附近寻找，如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验 法也是很有效的办法．
大家好
2021/3/2
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4．3 简单线性规划的应用
●三维目标 1．知识与技能 掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单 的实际问题． 2．过程与方法 通过实例的分析，体会利用线性规划的方法，解决问题 的过程． 3．情感、态度与价值观 引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神， 培养理论与实际相结合的科学态度．
【思路探究】 (1)题目中给了哪些条件？ (2)在满足日常饮食要求下，如何安排使花费最低？
【自主解答】 设每天食用 x kg 食物 A，y kg 食物 B，
总成本为 z 元，
0.105x＋0.105y≥0.075， 0.07x＋0.14y≥0.06， 那么0.14x＋0.07y≥0.06， x≥0， y≥0，
【错因分析】 对于整点最优解问题，其最优解不一定 离是非整点最优解最近的整点而是在可行域内离直线 l0 最近 的整点．
【防范措施】 找整点最优解可以平移直线看 z 的变化， 也可以把 n 个相近的整点代入直线来验证．
【正解】 作出可行域如图(同错解中的图)，平移直线 l0： 4x＋7y＝0，当直线经过可行域内的第一个整点 B(5，2)时 z 最小，zmin＝4×5＋7×2＝34.
x∈N＋，y∈N＋，
x∈N＋，y∈N＋.
当 y＝2 时，x＝2，3，4，5，6，7，8 共 7 种；
当 y＝3 时，x＝2，3，4，5，6 共 5 种；
当 y＝4 时，x＝2，3，4 共 3 种；
当 y＝5 时，x＝2，只有 1 种，
故共有 7＋5＋3＋1＝16 种不同的买法． 【答案】 C
3．电视台应某企业之约播放两部 连续剧．其中，连续剧甲每次播放时 间为 80 min，其中广告时间为 1 min， 收视观众为 60 万；连续剧乙每次播 放时间为 40 min，广告时间为 1 min， 收视观众为 20 万．已知此企业与电 视台达成协议，要求电视台每周至少播放 6 min 广告，而电 视台每周只能为该企业提供不多于 320 min 的节目时间．如 果你是电视台的制片人，电视台每周应播放连续剧甲 ________次、乙________次，才能获得最高的收视观众？
【解析】 设 A 类旅游线路开发 x 条，B 类旅游线路开
x≥5， 发 y 条，则y≥8，
z＝0.8x＋0.5y，不等式组表示的可行
x＋y≤20，
域是以(12，8)，(5，8)，(5，15)为顶点的三角形区域(含边界)，
又 x，y∈N*，易知在点(12，8)处 z 取得最大值，所以 zmax ＝0.8×12＋0.5×8＝13.6(万元)．
【答案】 13.6
求最小值的实际应用
营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少 提供 0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂 肪.1 kg 食物 A 含有 0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费 28 元；1 kg 食物 B 含有 0.105 kg 碳水化合物， 0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费 21 元．为了满足营养学 家指出的日常饮食要求，同时花费最低，需要同时食用食物 A 和食物 B 各多少？
(1)请解释 f(0)，g(0)的实际意义； (2)设 f(x)＝x＋5，g(x)＝12x＋10，甲、乙公司为了避免恶 性竞争，经过协商，同意在双方均无倒闭风险的情况下尽可 能减少改造设备资金．问此时甲、乙两公司各投入多少万元？
【解】 (1)f(0)表示当甲不投入资金改造设备时，乙要避 免倒闭，至少要投入 f(0)万元的资金；g(0)表示当乙不投入资 金改造设备时，甲公司要避免倒闭风险，至少要投入 g(0)万 元的资金．
7x＋7y≥5， 7x＋14y≥6， 即14x＋7y≥6， x≥0， y≥0.
目标函数 z＝28x＋21y，作出可行域，如图中阴影部分所 示．
解方程组714x＋x＋77y＝y＝56，得 M(17，47)，
作出直线 28x＋21y＝0 的平行线，当其过点 M(17，47)时， z 有最小值．
即每天食用食物 A 约 143 g，食物 B 约 571 g，能满足日 常饮食要求，又使花费成本最低．
●教学流程
演示结束
1.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规
课标解读
划问题，并能加以解决(重点、难点)． 2．培养学生应用线性规划的有关知识解决实际
问题的意识.
求最大值的实际应用
某公司计划 2013 年在甲、乙两个电视台做总时 间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、 乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分 钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能 给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元．问该公司如何 分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最 大，最大收益是多少万元？
2．实际问题中经常出现整数解的问题，通常方法是求 出的最优解不是整数时再微调，也可以根据图形和目标函数 枚举可能的整点，再逐一检验．
你能列出本例中的所有可行解吗？
【解】 易求图中阴影区域的顶点坐标分别为 A(2.5， 4)，B(6，4)，C(8，2)，D(7.5，0)，E(8，0)．
结合图形和约束条件，可知可行解有(3，4)(4，4)(4， 3)(5，4)(5，3)(5，2)(6，4)(6，3)(6，2)(7，1)(7，2)(7，3)(8， 0)(8，1)(8，2)．
1．解答本题易找错最优解的点，应注意比较对应直线的 斜率．
2．线性规划应用题的难点是从实际问题中抽象出不等式 组，当条件较多时，可借助表格或图形梳理题目中的条件．
甲、乙两公司生产同一种商品，但由于设备陈旧，需要 更新．经测算，对于函数 f(x)、g(x)及任意的 x≥0，当甲公司 投入 x 万元改造设备时，若乙公司投入改造设备费用小于 f(x) 万元，则乙有倒闭的风险，否则无倒闭风险；同样，当乙公 司投入 x 万元改造设备时，若甲公司投入改造设备费用小于 g(x)万元，则甲公司有倒闭的风险，否则无倒闭风险．
1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人 50 元，请
瓦工需付工资每人 40 元，现有工人工资预算 2 000 元，设木
工 x 人，瓦工 y 人，请工人的约束条件是( )
A．50x＋40y＝2 000
B．50x＋40y≤2 000
C．50x＋40y≥2 000
D．40x＋50y≤2 000
【解析】 由工人工资不超过工人工资预算，知 50x＋
作可行域如图(阴影内的整点)所示．
作直线 l0：320x＋504y＝0. 在可行域内的整点中，直线过点(8，0)时，zmin＝8×320 ＝2 560(元)． 所以每天从公司调 A 型卡车 8 辆就能完成任务，且公司 所花成本费最低．
1．解题时要在切实认真审题的基础上，将约束条件全 部罗列出来，最后要检查能否取等号，未知量是否为正整数 或有其他范围的限制．
【思路探究】 解答本题可先根据条件写出线性约束条 件及目标函数，然后作出可行域，在可行域内求出最优解．
【自主解答】 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的 时间分别为 x 分钟和 y 分钟，总收益为 z 元，由题意得
x＋y≤300， 500x＋200y≤90 000， x≥0，y≥0， 目标函数 z＝3 000x＋2 000y，