第四章 动态电路的时域分析法

课堂练习：
P139 4-1-6
电容电路 + Us (t = 0) R i + k uC – + C Us (t →) R i + uC –
电感电路 + Us (t = 0) R i + k uL – + Us (t →) R i + uL –
C
L
uc k未动作前，电路处于稳定状态： US i = 0 , uC = 0
2 t /s
1
2 t /s 发出功率
3
（3）求储能W (t)
二、电感元件
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
把金属导线绕在一骨架上构成一实际电感线圈， 当电流通过线圈时，将产生磁通，是一种抵抗电流变 化、储存磁能的部件。
0 2 1 2 t WC (t ) Cu (t ) 2 2 (t 2) 0
(t >0) + Us -
R i + uC –
C
Ri uC uS (t ) du iC C dt
RC
duC uC uS (t ) dt
RL电路 应用KVL和电感的VAR得：
Ri uL uS (t )
uL L di dt
有源 电阻 电路
(t >0) R i + uL Us – +
f ( , i ) 0
韦安 特性

o i 环形线圈 立式功率型电感
2. 电感元件的伏安关系
电路符号
i +
单位
L u (t) -
（1）线性时不变电感元件 电感器 的自感 任何时刻，通过电感元件的电流 i 与其磁 链 成正比。 ~ i 特性为过原点的直线。
H (亨利)，常用mH , H 表示。
（2）电容的电压电流关系（VAR) i ＋ q C u － 电容元件VAR 的微分形式
q Cu
电容器 的电容
u、i 取关联 参考方向
i

dq d Cu du C dt dt dt
C
q tan u
o
u
+q ＋
C
-q －
iC
表明
u
du dt
③实际电路中通过电容的电流 i 为有限值，则电 容电压 u 必定是时间的连续函数。 u du
S k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路 R 达到新的稳定状态： i = 0 ,i uC= U 有一过渡期 s
i k未动作前，电路处于稳定状态： US/R i = 0 , uL = 0
US k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定 uL i=Us /R 状态，电感视为短路： uL= 0, 有一过渡期 t1 t 0
解
0 2t u S (t ) 2t 4 0
uS (t)的函数表示式为:
t0 0 t 1s
1 t 2s t 2s
0 2t u S (t ) 2t 4 0
（1）求电流
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
1 WC/J
. . . . . . . . . . . .. . .

B
+
0 1 2 t /s
i (t) u (t)
I
0 nI 其中： B 0 内 外
(t)＝N (t)=NBS
1. 定义
一个二端元件，若在任何时刻，它的磁链和它 的电流的代数关系可用～i 平面上的一条曲线来描 述。那么此二端元件被称为电感元件 。电感元件实 际上是储存磁能的二端元件。 贴片型空心线圈 可调式电感
di 1 dξ Li 2 (ξ ) dξ 2
t
1 1 1 Li 2 (t ) Li 2 ( ) Li 2 (t ) 2 2 2
从t0到 t 电感储能的增加量：
表明
电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为 磁场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回 电路，因此电感元件是无源元件、是储能元件，它本 身不消耗能量。
左图中：
dt
，
0
t0
t
则必然有：
i
①某一时刻电容电流 i 的大小取决于电容电压 u 的变 化率，而与该时刻电压 u 的大小无关，这反映出电 容是动态元件； ②当 u 为常数(直流)时，i =0。电容相当于开路，电 容有隔断直流作用；
④某一时刻的电容电压值与-到该时刻的所有电流 值有关，即电容元件有记忆电流的作用，故称电 容元件为记忆元件。
6
注意 ①电容电流和电感电压为有限值是换路定则
成立的条件。 ②换路定律反映了能量不能跃变。
1. 动态电路的方程
例 RC电路
应用KVL和电容的VAR得：
二、初始值的计算
1. 动态电路的方程 分析线性时不变动态电路的暂态过程的方法 之一，是根据KCL、KVL和元件的VAR建立以u 或i为求解变量的线性常微分方程。

电路符号 ＋
+q
C
-q －
u

单位
F (法拉), 常用F，pF等表示。
f (u , q) 0
库伏 特性
q u
1F=106 F 1 F =106pF
o
1
2. 电容元件的伏安关系
(1) 线性时不变电容元件 任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压 u 成 正比。qu 特性曲线是过原点的直线。
第四章 动态电路的时域分析法
本章内容
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 动态元件 电压和电流初始值的计算 一阶电路的零输入响应 一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应
本章重点
1.电容元件和电感元件的定义、基本性质及 其伏安关系和能量的计算； 2.换路定则及初始值的确定； 3.一阶电路的零输入响应、零状态响应和全 响应的概念； 4.一阶电路的三要素法求解。
0 0
注意
①当电感的 u ， i 为非关联方向时，上述微 分和积分表达式前要冠以负号 ;
u (t ) L
1 t u ( )d ξ di i (t ) i (t0 ) L t0 dt

0
表明
VAR的积 分形式
②上式中 i(t0)称为电感电流的初始值，它反映电 感初始时刻的储能状况，也称为初始状态。
§4-1 动态元件
一、电容元件
在外电源作用下，正负电极上分别带上等量异 号电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集 下去，电容元件是一种储存电能的元件。
+q
_q
U
纸质电容器
电解电容器
陶瓷电容器
注意
实际电容器
彼此绝缘的导体组合或孤立导体均可以产生电容。
1. 定义
一个二端元件，若在任何时刻其储存的电荷q 与其两端的电压u能用q～u平面上的一条曲线来描 述，那么此二端元件被称为电容元件,电容元件实 际上是储存电能的二端元件。
根据法拉第电磁感应定律
d di(t) u(t) L dt dt
电感元件VAR 的微分关系
④某一时刻的电感电流值与-到该时刻的所有电 压值有关，即电感元件有记忆电压的作用，电 感元件也是记忆元件。
t t u( )dξ 1 tt u( )dξ i(t) 1 u( )dξ 1 L L L i(t) i(t0) 1 tt u( )dξ 电感元件 L
iC
du dt
du
1 idt C
注意
①当电容的 u， i 为非关联方向时，上述微分和 积分表达式前要冠以负号 ;
t0 t i( )d ξ 1 tt i( )d ξ u (t ) 1 i( )d ξ 1 C 0 C C
u (t ) u (t ) 1 tt i ( )d ξ C
2
uS/V
电源波形
（2）求功率P (t)
0
1
2 t /s
0 2t p(t ) u (t )i (t ) 2t 4 0
2 0 -2 p/W
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
吸收功率
t0 0 i/A 1 1 0 t 1s du i (t ) C S dt 1 1 t 2s 0 1 -1 t 2s 0
1 WC (t ) Cu2 (t ) 0 2
表明
① 电容的储能只与当时的电压值有关，电容电压 不能跃变，反映了储能不能跃变； ② 电容储存的能量一定大于或等于零。
例 求电容电流i、功率P (t)和储能W (t)
＋ i C 0.5F 0 1 2 t /s 2 uS/V 电源波形
us (t )
－
研究某一初始时刻t0 以后的电感电流，不需 要了解t0以前的电流，只需知道t0时刻开始作用的 电压 u 和t0时刻的电流 i（t0）。
3.电感的功率和储能

功率
di p ui L i dt
u、 i 取关联 参考方向
电感的储能
WL Li
t
①当电流增大，p>0, 电感吸收功率。 ②当电流减小，p<0, 电感发出功率。
WL
1 2 1 Li (t ) Li 2 (t0 ) 2 2
5
1 WL Li 2 (t ) 0 2
表明
①电感的储能只与当时的电流值有关，电感电流不 能跃变，反映了储能不能跃变。 ②电感储存的能量一定大于或等于零。
§4-2 电压和电流初始值的计算
一、换路定则 1. 暂态过程
含有电容和电感的电路。 当 动态电路 状态发生改变时（换路）需要经历 一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程 称为电路的过渡过程（暂态过程）。 i 例 电阻电路 i U S / R2 （t = 0） i U ( R1 R2 ) S + i R 1 t us 0 R2 过渡期为零
t
1 2 1 1 Cu2 (t ) Cu2 () Cu (t ) 2 2 2
从t0到 t 电容储能的增加量：
1 1 WC 来自百度文库 Cu 2 (t ) Cu 2 (t0 ) 2 2
表明 电容能在一段时间内吸收外部供给的能量
转化为电场能量储存起来，在另一段时间内又把能 量释放回电路，因此电容元件是储能元件，它本身 不消耗能量。
RLC电路 应用KVL和元件的VAR得：
Ri L
di uS (t ) dt
一阶 电路
Ri u L uC uS (t )
(t >0) R i + uL Us C – +
－
结论
一个动 态元件
C di d 2u du i C C uL L LC 2C dt dt dt 2 du du LC 2C RC C uC uS (t ) dt dt
(t ) Li (t )
L

o i
1H=103
mH
1 mH =103 H

i
tan
4
（2）线性电感的电压-电流关系（VAR) i + L u (t) u、i 取关联 参考方向 +
i
L u (t) -
u (t ) L
di (t ) dt
表明
①电感电压u 的大小取决于i 的变化率, 与 i 的 大小无关，电感是动态元件； ②当i为常数(直流)时，u =0。电感相当于短路； ③实际电路中电感的电压 u为有限值，则电感电 流 i 不能跃变，必定是时间的连续函数；
时刻开始作用的电流 i 和t0时刻的电压 u（t0）。
2
3.电容元件的电场能量

u、 i 取关 联参考方向
功率
p ui u C
du dt

电容的储能
WC

t

u C
①当电容充电，p >0, 电容吸收功率。 ②当电容放电，p <0, 电容发出功率。
du 1 d ξ Cu 2 ( ξ ) dξ 2
结论
uC =q /C
uC (0+) = uC (0－)
电荷守恒
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电 压换路前后保持不变。
L (0＋)= L (0－)
结论
iL L
磁链守恒
iL(0＋)= iL(0－)
P=
ΔW 当 Δt 0 时，有 P Δt
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感 电流换路前后保持不变。
新的稳定状态
U
新的稳定状态
?
?
前一个稳定状态
0
t1
过渡状态
t
前一个稳定状态
过渡状态
2.换路定则 换路 电路结构、状态发生变化 支路接入或断开 电路参数变化 过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能 量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间 来完成。
q (0+) = q (0－)
0 0
i C
电容元 件VAR 的积分 形式
du dt
u (t ) u (t ) 1 tt i ξ d ξ C
0 0

②上式中u(t0)称为电容电压的初始值，它反映电 容在初始时刻的储能状况，也称为初始状态。
表明 ：研究某一初始时刻t0 以后的电容电压，需知t0