样本空间与概率空间

样本空间、概率空间及概率的公理化定义

一、样本空间

在概率论中，随机试验是指在一定条件下出现的结果带有随机性的试验。我们用E 表示随机试验。随机试验E 的所有可能出现的结果构成一个集合，而把每一可能出现的试验结果称为一个基本事件。随机试验E 的所有基本事件构成所谓样本空间。下面举几个实际例子。

例1 掷一枚分币。出现“正面”、“反面”都是基本事件。这两个基本事件构成一个样本空间。

例2 掷一颗骰子。分别出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”都是基本事件。这六个基本事件构成一个样本空间。

例3 向实数轴的(0,1)区间上随意地投掷一个点。在(0,1)区间中的每一个点是一个基本事件，而所有点的集合（即(0,1)区间）构成一个样本空间。

抽象地说，样本空间是一个点的集合，此集合中每个点都称为样本点。样本空间记为()ωΩ=，其中ω表示样本点。这里小括号表示所有样本点构成的集合。

样本空间的某些子集称为事件。从数学观点看，要求事件（样本点的集合）之间有一定的联系，亦即对事件需加一些约束。

定义 设样本空间()ωΩ=的某些子集构成的集合记为F ，如果F 满足下列性质：

（1）Ω∈F ；

（2）若A ∈F ，则A A =Ω-∈F ；

（3）若,1,2,k A k ∈= F ，则1k

k A ∞=∈ F

那么称F 是一个波雷尔（Borel 事件域），或σ事件域。波雷尔事件域中每一个样本空间Ω的子集称为一个事件。

特别指出，样本空间Ω称为必然事件，而空集φ称为不可能事件。

在上面三个样本空间的例子中，每一个样本点都是基本事件。但是，一般并不要求样本点必需是基本事件。

在例1中共有两个样本点：“正面”，“反面”。作{=F 正面或反面，正面，反面，空集}，它构成一个波雷尔事件域，其中每一个元素都是一个事件。需要说明，F 表达式中的花括号。是指事件的集合。

在例2中共有六个样本点，记i ω为出现“i 点”的样本点，1,2,3,4,5,6i =。作{),,(,),,(),,,(),,(,),,(),,(,,,65442132165312161ωωωωωωωωωωωωωωωωω⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=F 123434561234523456(,,,),,(,,,),(,,,,),,(,,,,),ωωωωωωωωωωωωωωωωωω 123456(,,,,,)}ωωωωωω，它构成一个波雷尔事件域。这里每一对小括号表示它所包含的样本点的集合。123456(,,,,,)}ωωωωωω中一元素（即126(,,,ωωω ）或每一对小括号表示的样本点集合）是一个事件。

在例3中，作1{(0,1)=F 区间中任意子集}。1F 构成一个波雷尔事件域，其中每一个元

素是一个事件。再构造另一个波雷尔事件域。若取1{(,]:n k k

k G a b == 01k k a b <<<，

1,2,,k n = ，而1}n ≥，即G 是(0,1)区间中所有的左开右闭区间有限和集构成的集类。集类是指以点集作为元素的集合。显然G 不具有波雷尔事件域的第三条性质，这是因为G 中可列无限个元素之和，也可以是无限多个左开右闭区间之和，这种和不再是G 中的元素（例⎥⎦

⎤ ⎝⎛∞=n n n 21,311 ∉G ）），因而G 不是波雷尔事件域。记2F 是包含G 的最小的波雷尔事件域。数学上可以证明2F 与1F 并不重合，而2F 中的元素比1F 少。波雷尔事件域2F 中的每一个元素都是事件。

需要指出，在上面的三个例子中，四个F 有三个取为样本空间Ω中任意子集全体构成的波雷尔域，因而样本空间的一任意一个子集都是事件。但是，F 还可以选Ω的一部分子集构成一个波雷尔事件域，如例3中的2F 。又如在例1中取{,}φ=ΩF ，这种F 也构成波雷尔事件域。此时只有两个事件，但这样取F 的实际意义不大。

二、概率的公理化定义

在概率论中曾提及概率的统计定义和古典概率定义。概率的统计定义与大量重复试验相联系。古典概率定义要求样本空间由N 个等可能性的基本事件构成，具有一定的局限性。现在介绍一种概率的抽象的数学定义——公理化定义。这种定义是从一些具体的概率定义（如概率的统计定义，古典概率定义等）抽象出来的，同时又保留了具体概率定义中的一些特征。事件的概率是对应于波雷尔事件域F 中每一个Ω的子集的一个数，即可以看成集合函数。

概率的公理化定义 设()P A 是定义在样本空间Ω中波雷尔事件域F 上的集合函数。如果()P A 满足

（1）对任一A ∈F ，有0()1P A ≤≤；

（2）()1,()0P P φΩ==；

（3）若12,A A ，两两不相交，即,k j A A k j φ=≠，且,1,2,k A k ∈= F ，则

1

1()k k k k P A P A ∞∞

==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 那么称P 是波雷尔事件域上的概率。

在例1中定义()2

k P A =，其中k 是事件A 包含的样本点数，0,1,2k =，那么P 是概率。另外，如果定义P （正面）1120=，P （反面）9,20

P =（正面或反面）1,P =（空集）0=，这样定义的P 也是概率。

在例2中定义()/6P A k =，其中k 是事件A 包含的样本点数，0,1,2,3,4,5,6k =，那么P 是概率。

在例3中考虑波雷尔事件域2F ，数学上可以证明在2F 上存在一个集合函数P ，满足概率公理化定义中的三个条件，且对1(,]n k k

k A a b == ，有1()()n k k k P A b a ==-∑，

其中(,)k k a b 两

两不相交（显然A 是G 中元素），所以这个2F 上的集合函数P 是概率。此概率表示(0,1)区间上的均匀分布。特别指出，1F 是由(0,1)区间上任意子集构成的波雷尔事件域，数学上已经证明并不存在1F 上的集合函数P ，对上述事件A 有1()()n k k k P A b

a ==-∑，且满足概率公

理化定义中的三个条件。

对随机试验E 而言，样本空间Ω给出它的所有可能的试验结果，F 给出了由这些可能结果组成的各种各样事件，而P 给出每一事件发生的概率。(,,)P ΩF 称为概率空间。