差商及其性质ppt课件

f x, x0, x1
f [x, x0] f [x0, x1] x x1 f [ x, x0 ]
f [ x0 , x1 ]
f x, x0 , x1 ( x x1 )
(b)
f [ x, x0 , x1 , x2 ]
f x, x0 , x1 f x0 , x1, x2
n1

f (xj)
j0 ( x j x0 )(x j x1)( x j x j1)(x j x j1)( x j xn1)
#
5
3 差商表
表2.4
xi
f (xi )
(0 阶差商)
x0 f (x0)
一阶差商 二阶差商
三阶差商
k 阶差商
x1 f (x1)
x2 f (x2)
f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )
f x0 , x1 ,, xn ( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
f [ x, x0 ,, xn ]( x x0 )( x x1 )( x xn1 )( x xn )

n1 j 1
(xj

x1)( x j

f (xj) xj1)(xj
x j1)( x j

xn1 )
则由定义
f [x0, x1,, xn，xn1]
f x1, x2 , xn1 f x0 , x1,, xn xn1 x0
1(
f (xn1)
f x0 , x1,, xn ( x x0 )(x x1 )( x xn1 )
--- 牛顿插值多项式
Rn ( x) f [ x, x0 ,, xn ]( x x0 )( x x1 )( x xn1 )( x xn )
n
f [ x, x0 ,, xn ] ( x x j ) j 1
§4 差商与牛顿插值多项式
4.1 差商（均差）及性质
1 差商（均差）
f
(
已知f y( x=)
则x) x0在, x1
,
函数表x
f (x)
x1 , x2 ,
x0 f (x0 )
, xn1
,
xfn(xx11上) 平 均f变(xxn化n ) 率( x分i 别x为j ,：当（i4.1）j)
(
xj

x1)( x j

f (xj) xj1)(xj
x j1)( x j

xn1 )
4
假设当k n时成立，即有
f [x0，x1，xn]
n
j0 (xj

x0 )( x j

f (xj) xj1)(x j

x j1)( x j

xn )
f
[ x1，x2， xn1 ]
x x2
f x, x0 , x1 f x0 , x1 , x2 f [ x, x0 , x1 , x2 ]( x x2 ) (c)
，
f [x, x0,, xn]
f x, x0,, xn1 f x0, x1,, xn
x xn
f x, x0 ,, xn1 f x0 , x1,, xn f [x, x0 ,, xn ]( x xn ) (d )
7
f ( x) f ( x0 ) ffxx,,xx00((xx xx00)) (a) 抵消
f [ xx,,xx00]] f [ x0 , x1] ff xx,, xx00,,xx11((xxxx1 )1 ) (b)
( x x0 )
f x, xx00,,xx11 ff xx00,,xx11,,x22 f [x, x0 , x1, x2 ]( x x2 ) (c) ( x x0 )( x x1 )
只是表达方式不同.
? 因为Pn
H而n
(
x的)，基Ln函(x)数 H可n为:((12))
1, x,, xn 1, x x0,,( x

x0 )(
x

x1)( x

xn1 )
f [x0, x1, x2, x3] f [x1, x2, x3, x4]


f [x0, x1,, xk ]
计算顺序:同列维尔法，即每次用前一列同行的差商与前一列 上一行的差商再作差商。
6
4.2 牛顿插值多项式 x
1 牛顿插值多项式的推f (导x) 已y 知f (x) 函数表（4.1）,
f
x0 , x1

f ( x1 ) f ( x0 ), x1 x0
f
x1, x2

f ( x2 ) f ( x1 ), x2 x1
，f
xn1, xnFra Baidu bibliotek

f ( xn ) f ( xn1 ). xn xn1
即有定义：
定义为f(x) 的差商
1
定义（41）对[ x于i , x j ]
n
--- 牛顿插值多项式
Rn( x) f [x, x0 , x1,, xn ]( x xi )
--- 牛顿插值余项
i0
2 n +1阶差商函数与导数的关系
Pn( x)
由n次插值多项式的唯一性，Pn(则x)有 Ln( x) , 牛顿插值多项式
与拉格朗日插值多项Ln式( x) 都是次数小于或等于n的多项式,
j
,当i
j)
牛顿插值多
的插值多项项式式为系：数
f ( x) Pn ( x) Rn ( x) (4.2)
其中Pn(，x) f ( x0 ) ff[[xx00,,xx11]]( x x0 ) ff[[xx00,,xx11,,, xnn]( x x0)( x x1)(x xn1)

f
(x1 )
f
(
x0
)
f (x0 )
f (x1 )
x1 x0
x0 x1 x1 x0
f [x0，x1，xn]
n j0
(xj

x0 )( x j

f (xj) x j 1 )( x j

x j1)( x j

xn )
f
[ x1，x2， xn1 ]

n1 j 1
的线性组合，即
f
x0 , x1,, xk
k

f (xj)
j0 ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j1 )(x j x j1 )( x j xk )
k

j0
k
f (xj)
k

f (xj)
( x j xi ) j0 k 1 ( x j )
，f称xi , x j

xi , x j
f (x)
f ( x j ) f ( xi ), x j xi
为函数f ( x) 在xi , x j 的一阶差商（一阶均差）；
（2）由函数f y( x=) 的一阶差商表，再作一次差商，即
称为f (yx)=
f
xi , x j , xk
x0
x1 xn ( xi x j ,
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( xn ) 当i j)
由差商定义及对称性，得（4.1）
f x, x0
f ( x) f ( x0 ) x x0

f (x)
f ( x0 ) f x, x0 ( x x0 )
(a)
当kf
=[ x10，时x,1
]

f (x0 ) x0 x1

f (x1 ) x1 x0

f
x0 , x1

f (x1 ) f (x0 ) x1 x0
(1)可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到。只证(1)
证明：（1）当k =1时f ,x0 , x1
假设当k n时成立，即有
f x, x0 ,, xn1 f x0 , x1,, xn f [x, x0 ,, xn ]( x xn ) (d )
( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
将(b)式两边同乘以(,x x0 ) ,(c)式两边同乘以( x x0 )( x x1 )， (d)式两边同乘(以x x0 )( x x1 )( x xn1 ) ,把所有式子相加,得

xi , x j , xk
f (x)
f [x j , xk ] f [xi , x j ], xk xi
x在i ,点x j , xk 的二阶差商（二阶均差）；
n－1阶 差商
（3）一般由f函( x数) y= 的n－1阶差商表可定义函数的n阶差商
即 f [x0 , x1 ,, xn ] [x0 , x1 ,, xn ] f（x）
8
f ( x) P ( x) f
(x)
ff ((xx00)) ff
ff [[xx00,, xx00,, xx11
,,xx11]n],(,(xxxxnn((xxxx00))xx00ff))[(([xxxx00,,xxxx111,1,)x) x22]]((((xxxxxxxxn0n0)1()1)(x)xxx1 )1
i0
i j
（2）k 阶f 差x0,商x1,, xk
关于x节0 ,点x1,, xk 是对称的，或说
均差与节点顺序无关，即
f x0, x1,, xk f x1, x0,, xk f xk , xk1,, x0
例如f x：i , x j , xk f xi , xk , x j , f x j , xi , xk f x j , xk , xi

f (x0)
)
xn1 x0 ( xn1 x1)( xn1 x2 )( xn1 xn ) ( x0 x1)( x0 x2 )( x0 xn )
n

f(xj)
( x j x0 ) ( x j xn1)
j1 xn1 x0 ( x j x0 )(x j x1)( x j x j1)(x j x j1)( x j xn1)
x3 f (x3)
x4 f (x4)


xk f (xk )


f [x0, x1] f [x1, x2] f [x0, x1, x2]
f [x2, x3] f [x3, x4]

f [x1, x2, x3] f [x2, x3, x4]

f [xk1, xk ] f [xk2, xk1, xk ]
--- 牛顿插值余项
可f (以xi 验) 证Pn( xi )(i 0,1,, n) 可得以下结论。
，P即n ( x)
满足插值条件, 因此
9
定理6（牛顿插值多项式） y f (x已) 知 函数表
( xi , f ( xi ))( i 0,1,, n);( xi x 则满足插f (值xi )条 件Pn( xi ), (i 0,1,, n)
)
R ( x) ff记[[xx, ,xx0 ,0,, x, nx]n(]x(nxx0x)0()x( xx1x)1)( x( x xnxn1)1()x( xxnx)n )
Pn( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1](x x0 ) f [ x0 , x1, x2 ](x x0 )(x x1 )
f xk , x j , xi f xk , xi , x j
共6个
3
分析 ：
f
x0 , x1,, xk
k

f (xj)
j0 ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j1 )(x j x j1 )( x j xk )
ff x1 , x2 ,,xxnn f xx00,, xx11,,,,xxnn11
xn x0
称为函f数( xy) = x0在, x1,, xn 点的n阶差商（n阶均差）。
2
2 基本性质
定理5（1）f (x) 的k阶差f 商x0, x1,, xk
是函数f (x值0 ), f (x1 ),, f (xk )