(完整版)常微分方程的大致知识点

常微分方程的大致知识点

（一）初等积分法

1、线素场与等倾线

2、可分离变量方程

3、齐次方程（一般含有的项）

x y y x 或4、一阶线性非齐次方程

常数变易法，或])([)()(⎰+⎰⎰

=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程

令，则，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次n y z -=1dx

dy y n dx dz n --=)1(6、全微分方程

若，则，（留意书上公式）x N y M ∂∂=∂∂C y x u =),(若，则找积分因子，（留意书上公式）x

N y M ∂∂≠∂∂7、可降阶的二阶微分方程，令),(22dx dy x f dx y d =dx dy dx

y d p dx dy ==22,则，令),(2

2dx dy y f dx y d =dy dp p dx y d p dx dy ==22,则8、正交轨线族

（二）毕卡序列

，，，其余类推⎰+=x x dx y x f y y 0),(001⎰+=x x dx y x f y y 0),(102⎰+=x

x dx y x f y y 0),(203（三）常系数方程

1、常系数齐次0

)(=y D L 方法：特征方程

单的实根，21,λλx x e C e C y 2

121λλ+=单的复根，i βαλ±=2,1)

sin cos (21x C x C e y x ββα+=重的实根，λλλ==21x

e x C C y λ)(21+=重的复根，，i βαλ±=2,1i βαλ±=4,3]

sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=2、常系数非齐次)

()(x f y D L =方法：三部曲。

第一步求的通解0)(=y D L Y

第二步求的特解)()(x f y D L =*

y 第三步求的通解)()(x f y D L =*

y Y y +=如何求？

*y 当时，x m e x P x f α)()(==*y x

m k e x Q x α)(当时，vx e x Q vx e x P x f ux m ux m sin )(cos )()(+==*y )sin )(cos )((vx x S vx x R e x m m ux k +当是一般形式时，，其中W(.)是郎斯基行列式)(x f =*y ξξξξd f W x W x

x )()(),(0⎰（四）常系数方程组

方法：三部曲。第一步求

的通解，。利用特征方程，并分情况讨论。X t A dt

dX )(=C t )(Φ0=-I A λ第二步求的特解，，（定积分与不定积分等价）)()(t f X t A dt

dX +=⎰-ΦΦds s f s t )()()(1第三步求的通解，)()(t f X t A dt dX +=⎰-ΦΦ+Φds s f s t C t )()()()(1（五）奇点与极限环

1、分析方程组的奇点的性质，用特征方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=dy cx dt dy by ax dt dx 0=-I A λ特征方程的根有3种情况：相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况：相异实根，2

1λλ≠

当，鞍点，图像

0,021><λλ当，稳定结点，图像

0,021<<λλ当，不稳定结点，图像

0,021>>λλ第二种情况：相异复根，，βαλ+=1i βαλ-=2i

当，中心，图像

0=α当，稳定焦点，图像

0<α当，不稳定焦点，图像

0>α第三种情况：相同实根，λ

λλ==21当同时为0时，如果，不稳定临界结点，图像c b ,0>λ 如果，稳定临界结点，图像0<λ当不同时为0时，如果，不稳定退化结点，图像c b ,0>λ 如果，稳定退化结点，图像0<λ2、方程组的奇点的性质，Perron 定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x Y dt

dy y x X dt dx 3、方程组的极限环的性质，引入极坐标讨论⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x Y dt dy y x X dt dx ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x