1.1变化率与导数

1.1.1变化率问题
问题1
气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的 过程,可以发现,随着气球内空气容量的增 加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度, 如何描述这种现象呢?

气球的体积V与半径r之间的函数关系是
4 3 V (r ) r 3
3

将半径r表示为体积V的函数
3V r (V ) 4
例题
１ １ 例1 求双曲线ｙ＝ 过点（２， ）的切线方程． ｘ ２
1 1 f（2 x） f（2 ） 解 ： 因 为l i m l i m 2 x x x 0 x 0 x x 1 1 lim ， x 0 2 （2 x） 4 1 1 所以，这条双曲线过（ 点 2， ） 的 切 线 斜 率 为 . 2 4 1 1 1 故所求切线方程为 y ( x 2)， 即y x 1. 2 4 4
无限趋近于切线PT的斜率k，
y x
也就是说，当Δx
0时，
y
割线PQ的斜率kPQ x 的 极限为k.
导数的几何意义:
函数在x0处的导数f1(x)的几何意义,
是曲线y=f(x)在(x0,f(x0)) )点处的斜 率,
即:
'
f ( x0 x) f ( x0 ) y k切线 f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x
练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:
(1) lim
x 0
f ( x0 mx ) f ( x0 ) ; (2) lim x 0 x
f ( x0
答案： (1) mf ( x0 ); ( 2)
1 f ( x0 ). t
x ) f ( x0 ) t x
平均变化率定义:
f(x ) f ( x ) 2 1 上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
思考?

观察函数f(x)的图象
Y=f(x) y B
y f(x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 x x2 x1
导数的几何意义
切线
一般地，已知函数y=f(x)的图象是如图所示的曲线C， P (xo, yo），Q(xo＋Δx, yo＋Δx)是曲线上的两点,当点Q沿 着曲线无限接近于点P，即Δx 0时，如果割线PQ无限 趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切 线.此时，割线PQ的斜率 k
PQ
1 例 2 设 l是 y 图 象 的 一 条 切 线 ， 证 l 明 与坐标轴 x 所围成的三角形的面与 积切点无关 .
1 分析：设 P（x0，y0） （x0 0 ） 是y 图 象 上 任 一 点 ， x 则 x 0 y 0 1. 由导数的几何意义可l 知 的斜率 1 1 k f（ ' x0 ） 2 ， 所 以 l为 : y y0 2 ( x x0 )， x0 x0 1 令x 0， 得y y0， x0
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) 解： (1)原式 lim lim x 0 x 0 ( x ) x f ' ( x0 );
f ( x0 h) f ( x0 ) [ f ( x0 h) f ( x0 )] ( 2)原 式 lim h 0 2h f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 ) 1 [lim lim ] h 0 2 h 0 h h 1 [ f ' ( x0 ) f ' ( x0 )] f ' ( x0 ). 2
3.质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+t)中
2
相应的平均速度为( A ) A. 6+t C.3+t 9 B. 6+t+ t D.9+t
4.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线 运动,求在4s附近的平均变化率.
25 3t
1.1.2导数
瞬时速度 高台跳水
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
高台跳水 h(t ) 4.9t 6.5t 10
2பைடு நூலகம்
h h(t t ) h(t ) v t t
h(2 t ) h(2) v(2) lim t 0 t lim(4.9t 13.1) 13.1
t 0
Δt -0.1 -0.01
f x0 x f x0 f lim lim x 0 x 0 x x
我们你它为函数y = f (x)在x=x0 处的导数， 记作 f x0 或 y x= x
0
由导数的定义可知，求函数 y f ( x) 在 x0 处的 导数的步骤: （1）求函数的增量: f f ( x0 x) f ( x0 ) ；
f ( x0 x) f ( x0 ) f （2）求平均变化率: ； x x f lim ． （3）取极限，得导数: f ( x0 ) x 0 x
例1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:
(1) lim
x 0
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x0 h) f ( x0 h) ; ( 2) lim . h 0 x 2h
o
t
请计算 0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h
o
t
h(0.5) h(0) 在0 t 0.5这段时间里， v 4.05(m / s) 0.5 0 h(2) h(1) 在1 t 2这段时间里， v 8.2(m / s) 2 1
2 令y 0， 得x x0 y0 x0 2 x0，
则 l与 坐 标 轴 所 围 成 的 三 形 角的面积 1 1 S | 2 x（ y0） || 1 x0 y0 | 2(与 切 点 无 关 ). 0 2 x0
练习
1、设函数y=f(x),当自变量由xo改变到xo+Δx时，函数的改
表示什么?
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y
A
f(x1)
直线AB 的斜率
x2-x1=△x x x1 x2
O
练习
1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2) 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( )D A 、3 B、 3Δx-(Δx)2 C、 3-(Δx)2 D 、3-Δx 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度. 2x0+Δx

2 1
随着气球体积逐渐 变大,它的平均膨胀率逐 渐变小。
显然 0.62>0.16
思考?

当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面 的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位： h 秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
v
-12.61 -13.051
Δt 0.1 0.01
v
-13.59 -13.149
-0.001
-0.0001
-13.0951
-13.009951
0.001
0.0001
-13.1049
-13.10049
-0.00001 -13.099951
0.00001 -13.100049
导数的概念
一般地，函数y = f (x) 在x = x0 处的瞬时变 化率是
例3.在自行车比赛中，运动员的位移s与比赛
时间t 存在的函数关系 s =10 t + 5 t 2，求 （1）t = 20 ， t=0.1 时的 s与 s / t ； （2）求t = 20的速度.
练习
作直线运动的物体，位移s 与时间 t 的函数
关系 s =3 t - t 2，
(1).求物体的初速度； (2).求物体在t = 2 时的瞬时速度； (3).求t = 0到t = 2时的平均速度.
3V r (V ) 4
3
当V从0增加到1时,气球半径增加了r (1) r (0) 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r (1) r (0) 0.62(dm / L)

1 0
当V从1增加到2时,气球半径增加了r (2) r (1) 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为 r (2) r (1) 0.16(dm / L)
变量Δy=( A、f(xo+ Δx) C、 f(xo)+Δx
)
B、 f(xo)-f(Δx) D、 f(xo+Δx) - f(xo)
2、已知曲线y=x2/2上A、B两点的横坐标是xo和xo+Δx，则 过A、B两点的直线斜率是（ ）
3、判断曲线y=2x2在点P(1,2)处是否有切线，如果有，求 出切线的方程.
练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和
af ( x ) xf (a ) f (a )表 示l i m . x a xa
af ( x ) xf (a ) a[ f ( x ) f (a )] ( x a ) f (a ) 解 : lim lim x a x a xa xa f ( x ) f (a ) a lim f (a ) af (a ) f (a ). x a xa
探究:
65 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度, 49 并思考下面的问题:
65 h( ) h(0) 10 49
h v 0 t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.
例2:
高台跳水运动中，
t
秒 ( s ) 时运动员相
对于水面的高度是 h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
（单位： m ），求运动员在 t 1s 时的瞬时
速度，并解释此时的运动状态;在t 0.5s 呢?
h h(1 t ) h(1) t t 4.9(t 1) 2 6.5(t 1) 10 4.9 12 6.5 1 10 t 4.9t 3.3 h / h 1 lim lim ( 4.9t 3.3 ) 3.3 t 0 t t 0 h / 1 3.3 同理，h / (0.5) 1.6 运动员在 t 1s 时的瞬时速度为 h / (1) 3.3m / s ， t 0.5s h / (0.5) 1.6m / s 这说明运动员在 t 1s附近，正以大约 3.3m / s t 0.5s 1.6m / s 的速率 下落 。 上升