偏微分方程的离散化方法PPT讲稿

并可以认为是均质的，从而把形状不规则的非均质的问题转化为形状规则的 均质的问题——非线性问题线性化。
• 计算过程中可以控制精度。要求的精度越高，则需要划分的单元就越多，计
算工作量相应就越大，反之，单元划分得少些，计算工作量就小，但精度变 差些。
• 微分方程离散化，主要在空间和时间两方面被离散化
• （1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格，
y
x
无效网格 有效网格 点中心网格 块中心网格
z
x y
局部网格加密
模拟区网格图（井位、边界、断层）
五点法注水开发5年后XW3层含水饱和度分布图
五点法注水开发20年后XW3层含水饱和度分布图
z
r
混合网格
二、有限差分法----导数的差商逼近
P lim P(x x) P(x)
x x0
x
P lim P(x) P(x x)
x x0
x
P
P(x x) P(x x)
lim
x x0
2x
P
前差商 后差商 中心差商
x
函数 P(x+Δx)利用 Talor 公式逼近导数
P(x x) P(x) xP(x) x 2 P(x) x3 P(x) x 4 P (4) (x)
2!
x
x
x i
xБайду номын сангаас
1、 二阶差商
将方程(*)正负相加,可得: P(x x) P(x x) 2P(x) x 2 P '' (x) x 4 P (4) (x) .........
12
上式两端同除 x 2 ,整理得:
P '' (x) P(x x) 2P(x) P(x x) O(x 2 ) x 2
2、 一阶后差商
P P(x) P( x x) ， P Pi Pi1
x
x
x i
x
3、 一阶中心差商
P P( x x) P(x x) ， P Pi1 Pi1
x
2x
x i
2x
忽略截断误差 O(x) 忽略截断误差 O(x) 忽略截断误差 O(x2 )
P P( x x / 2) P( x x / 2) ，P Pi1/2 Pi1/2 忽略截断误差 O((x / 2)2 )
大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。
• （2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段，
在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。
离散空间
P
t
离散时间
• 1、网格系统
它有x，y两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格， 如考虑时间，则。编号：x→i，y→j，t→n。为步长（对 三维z→k）。 节点：网格的交点叫网格节点。取一些与边界s接近的网格 节点，把他们连成折线Sh，Sh所围成的区域记为Dh，Dh 内的节点为内部节点、边界上的节点为边界节点。
• 2、 等距网格就是指建立差分网格时，所采用的步长都是
相等的，反之称为不等距网格。
• 3、网格类型
常规网格系统： （1）块中心网格：用网格小块的几何中心来表示小块的坐标 （2）点中心网格：用节点的坐标来表示小块的坐标
块中心网格和点中心网格的离散点数不同，但最终形成一样的差分方程，只 有在处理边界条件时各有方便之处，块中心网格比较容易处理定流量边界， 点中心网格比较容易处理定压边界。 非常规网格系统： （1）局部网格加密 （2）混合网格 （3）多边形网格
忽略二阶截断误差 O(x 2 )
2P x 2
P(x
x)
2P(x) x 2
P(x
x)
，
2P x 2
Pi1
2Pi x 2
Pi1
(用节点位置)
i
1、 一种常用二阶差商处理方法
k u k u
x
k
x
x x x1 2 x
x x x2 2
， x
1 2
(x1
x2
)
u
u(x x1, y, t) u(x, y, t)
步时间）的值 Pin1 ，必须解一个线性代数方程组。即：要想求出 Pin1 值，需用
x2 )
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pin ，就可以求得第 n+1
时刻（下步时间）的值 Pin1 。因此如初始条件，即 n=0 时各网格的 P 值已给定， 就可以依次求得以后各时间的 P 值。这种差分格式是显式差分格式。在显式差分 格式中：只有一个未知数 Pin1 ，由一个方程就可以求出。简单，精度较差，时间 步长受到严格限制，基本不用。
偏微分方程的离散化方法课件
一、离散化的概念
• 油藏是非均质的，岩石和流体性质伴随时间常常是发生变化的，建立的偏微
分方程一般是非线性的，求解偏微分方程的解析解比较困难，常用数值求解。
• 目前工程上应用的离散化方法有：有限差分法、有限元法、边界元法、变分
法等。
• 离散化的核心是把整体分成若干单元来处理，而每个小单元的形状是规则的，
，
u
u(x, y, t) u(x x2 , y, t)
x x x1
x1
x x x1
x2
2
2
k u
k x x1 2
u(x
x1,
y, t) x1
u( x,
y,
t)
k x x2 2
u(x, y, t) u(x x2 , y, t) x2
x x
x
Δx
Δx1 Δx2
三、有限差分方程的建立
（2）隐式差分：利用 P（x，t）关于 t 的一阶向后差商和关于 x 的二阶差商， 在点（i，n+1）的差分方程：
P n1 i 1
2Pin1 x 2
P n1 i1
P n1 i
Pi n
t
(1
2
) Pi n 1
(
P n1 i1
P n1 i 1
)
Pi n
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pin ，为了求得第 n+1 时刻（下
3!
4!
(*)
P(x) xP(x) O(x)
P(x x) P(x) x P(x) (x / 2)2 P(x) (x / 2)3 P(x)
2
2
2!
3!
P(x) x P(x) O(x)
2
2
1、 一阶前差商
P P(x x) P( x) ， P Pi1 Pi
x
x
x i
x
1、抛物型方程：一维不稳定渗流方程：
2 P x 2
P t
（1）显示差分：利用 P（x，t）关于 t 的一阶向前差商和关于 x 的二阶差商，在 点（i，n）的差分方程。
Pn i 1
2Pin x 2
Pn i 1
P n1 i
t
Pi n
P n1 i
(1 2 )Pin
(
Pn i1
Pn i1
)
，
t x
2
，截断误差： O ( t