结构力学——静定结构位移计算教学内容
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第四章 虚位移原理与静定结构的位移计算
学习内容
实功和虚功、广义力和广义位移，变形体虚功原理，功的 互等定理、位移互等定理、反力互等定理。静定结构在荷载作 用下产生的位移计算。刚架和梁的位移计算图乘法。
学习目的和要求
目的：静定结构位移计算是验算结构刚度和计算超静定结构 所必需的。变形体虚功原理是结构力学中的重要理论，位 移计算公式就是在此原理上得到的，对于进一步学习也起 到重要作用。
q
M FN
M+dM FN ＋dFN
FS FS ＋dFS
d
变形
d
d
第二节 变形体虚功原理
• 按外力虚功和内力虚功计算
微段虚功总和 = 微段外力虚功 + 微段内力虚功
dWz=dWe+dWi
Wz= We+ Wi
由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系
所以 Wi = 0
Wz= We
第二节 变形体虚功原理
建筑起拱
如屋架在竖向荷 载作用下，下弦 各结点产生虚线 所示位移。
将各下弦杆做得 比实际长度短些， 拼装后下弦向上 起拱。 在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。
第一节 位移计算概述
3、产生位移的主要原因
各种因素对静定结构的影响
内力
变形
位移
荷载
√
√
√
温度改变或 ×
√
√
材料胀缩
支座移动或 ×
功 = 力×力作用点沿力方向上的位移
WFPΔ
FP 理解为广义力
Δ 广义力与广义位移的乘积具有功的量纲。
第二节 变形体虚功原理
实功：力在自身所产生的位移上所作的功。
(1) 常力作功
FP
O
S
（力与位移有因果关系）
WFPScos
(2) 变力作功
FP
d W (F P d F P )d y F P d y
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
回顾
（1）质点系的虚功原理
具有理想约束的质点系，在某一位置 处于平衡的必要和充分条件是：
FP1
FN1
对于任何可能的虚位移，作用于质
点系的主动力所做虚功之和为零。也 即
Σ→fi .δri→=0
FP2
m 1
m 2
FN2
（2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
第二节 变形体虚功原理
• 广义力和广义位移均可有不同的量纲，但其乘积必 须具有功的量纲。
• 作功的广义力可以是单个力，也可以是一组力；
• 未必发生但能满足物体连续变化和约束条件的微小变 形称虚变形。虚变形是合理的，但不一定是真实的。 虚变形各种各样，但在某一原因作用下的真实变形却 是确定的，真实变形是虚变形中的一个。
×
√
制造误差
产生位移的主要原因主要三种：①荷载作用、②温度改变和材料胀缩、 ③支座移动和制造误差。
4 体系特征假定
(1) 线弹性 (2) 小变形 (3) 理想联结
叠加原理适用
可以利用虚功概念计算结构的位移
第二节 变形体虚功原理
1、功的概念
功：是能量变化的度量。用定量形式表述了力在其作
用点的运动路程上对物体作用的效果。
对于任何可能的虚位移，作
用于刚体系的所有外力所做虚
功之和为零。
ΔP
-FP ΔP +FB ΔB=0
F Ax
F Ay
FP ΔB
FB
第二节 变形体虚功原理
2 虚功原理 （1）刚体系的虚功原理
刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的 虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。
（2）变形体的虚功原理
注意：
• 定义“功”时对产生位移的原因没有给予限制，作功 的两个要素中，若力在其自身引起的位移上作功，则 称实功；若力在由其他原因引起的位移上作功，则称 虚功；
• 为便于功的计算，引入广义力和广义位移的概念：
1. 凡与力相关的因子均称广义力（如集中力、分布 力，力偶等）
2. 凡与位移相关的因子均称广义位移（如线位移、 角位移等）
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
思考：变形与位移的差别？
两者之间的关系：有变形必有位移；有位移不一 定有变形。
第一节 位移计算概述
形状的改变称变形；位置的改变称位移
FP
Ax
A
Ay A’ A
绝对位移
Ax
A’ A
Bx
B B’
相对位移
AB=Ax+Bx
无论是线位移还是角位移，无论绝对位移还 是相对位移统称广义位移
第一节 位移计算概述
2、结构位移计算的目的
• 按刚体虚功和变形虚功计算
微段虚功总和 = 微段刚体虚功 + 微段变形虚功
dWz= dWg+dWi
dWg = 0
基于平衡状态的刚体虚功原理
所以 dWZ = dWi
百度文库
Wz = Wi
(1) 结构刚度验算的要求。 吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。最大层间位 移< 1/800层高
(2) 施工要求：结构的制作、架设、养护过程中往往需要预 先知道结构的变形情况，以便采取施工措施;
(3) 为分析超静定结构计算、动力计算和稳定计算打基础.
第一节 位移计算概述
广义位移 ：结构产生的各种位移，包括截面的线位移、 角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等 等都可泛称为广义位移。
广义力 ：与广义位移对应的就是广义力，可以是 一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相反 的力或力偶，也可以是一组力系。
注意：广义位移与广义力的对应关系， 能够在某一组广义位移上做功的力系，才 称为与这组广义位移对应的广义力。
y
1
d y
W dW2FPΔP
第二节 变形体虚功原理
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功。
（力与位移相互独立）
FP2 Δ22
FP1
Δ11 Δ12
W12FP1Δ12
（此过程力保持为常量）
虚功具体有两种情况：
1 作功双方其一是虚设的； 2 作功双方均是实际存在的，但彼此无关。
第二节 变形体虚功原理
学习内容
实功和虚功、广义力和广义位移，变形体虚功原理，功的 互等定理、位移互等定理、反力互等定理。静定结构在荷载作 用下产生的位移计算。刚架和梁的位移计算图乘法。
学习目的和要求
目的：静定结构位移计算是验算结构刚度和计算超静定结构 所必需的。变形体虚功原理是结构力学中的重要理论，位 移计算公式就是在此原理上得到的，对于进一步学习也起 到重要作用。
q
M FN
M+dM FN ＋dFN
FS FS ＋dFS
d
变形
d
d
第二节 变形体虚功原理
• 按外力虚功和内力虚功计算
微段虚功总和 = 微段外力虚功 + 微段内力虚功
dWz=dWe+dWi
Wz= We+ Wi
由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系
所以 Wi = 0
Wz= We
第二节 变形体虚功原理
建筑起拱
如屋架在竖向荷 载作用下，下弦 各结点产生虚线 所示位移。
将各下弦杆做得 比实际长度短些， 拼装后下弦向上 起拱。 在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。
第一节 位移计算概述
3、产生位移的主要原因
各种因素对静定结构的影响
内力
变形
位移
荷载
√
√
√
温度改变或 ×
√
√
材料胀缩
支座移动或 ×
功 = 力×力作用点沿力方向上的位移
WFPΔ
FP 理解为广义力
Δ 广义力与广义位移的乘积具有功的量纲。
第二节 变形体虚功原理
实功：力在自身所产生的位移上所作的功。
(1) 常力作功
FP
O
S
（力与位移有因果关系）
WFPScos
(2) 变力作功
FP
d W (F P d F P )d y F P d y
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
回顾
（1）质点系的虚功原理
具有理想约束的质点系，在某一位置 处于平衡的必要和充分条件是：
FP1
FN1
对于任何可能的虚位移，作用于质
点系的主动力所做虚功之和为零。也 即
Σ→fi .δri→=0
FP2
m 1
m 2
FN2
（2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
第二节 变形体虚功原理
• 广义力和广义位移均可有不同的量纲，但其乘积必 须具有功的量纲。
• 作功的广义力可以是单个力，也可以是一组力；
• 未必发生但能满足物体连续变化和约束条件的微小变 形称虚变形。虚变形是合理的，但不一定是真实的。 虚变形各种各样，但在某一原因作用下的真实变形却 是确定的，真实变形是虚变形中的一个。
×
√
制造误差
产生位移的主要原因主要三种：①荷载作用、②温度改变和材料胀缩、 ③支座移动和制造误差。
4 体系特征假定
(1) 线弹性 (2) 小变形 (3) 理想联结
叠加原理适用
可以利用虚功概念计算结构的位移
第二节 变形体虚功原理
1、功的概念
功：是能量变化的度量。用定量形式表述了力在其作
用点的运动路程上对物体作用的效果。
对于任何可能的虚位移，作
用于刚体系的所有外力所做虚
功之和为零。
ΔP
-FP ΔP +FB ΔB=0
F Ax
F Ay
FP ΔB
FB
第二节 变形体虚功原理
2 虚功原理 （1）刚体系的虚功原理
刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的 虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。
（2）变形体的虚功原理
注意：
• 定义“功”时对产生位移的原因没有给予限制，作功 的两个要素中，若力在其自身引起的位移上作功，则 称实功；若力在由其他原因引起的位移上作功，则称 虚功；
• 为便于功的计算，引入广义力和广义位移的概念：
1. 凡与力相关的因子均称广义力（如集中力、分布 力，力偶等）
2. 凡与位移相关的因子均称广义位移（如线位移、 角位移等）
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
思考：变形与位移的差别？
两者之间的关系：有变形必有位移；有位移不一 定有变形。
第一节 位移计算概述
形状的改变称变形；位置的改变称位移
FP
Ax
A
Ay A’ A
绝对位移
Ax
A’ A
Bx
B B’
相对位移
AB=Ax+Bx
无论是线位移还是角位移，无论绝对位移还 是相对位移统称广义位移
第一节 位移计算概述
2、结构位移计算的目的
• 按刚体虚功和变形虚功计算
微段虚功总和 = 微段刚体虚功 + 微段变形虚功
dWz= dWg+dWi
dWg = 0
基于平衡状态的刚体虚功原理
所以 dWZ = dWi
百度文库
Wz = Wi
(1) 结构刚度验算的要求。 吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。最大层间位 移< 1/800层高
(2) 施工要求：结构的制作、架设、养护过程中往往需要预 先知道结构的变形情况，以便采取施工措施;
(3) 为分析超静定结构计算、动力计算和稳定计算打基础.
第一节 位移计算概述
广义位移 ：结构产生的各种位移，包括截面的线位移、 角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等 等都可泛称为广义位移。
广义力 ：与广义位移对应的就是广义力，可以是 一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相反 的力或力偶，也可以是一组力系。
注意：广义位移与广义力的对应关系， 能够在某一组广义位移上做功的力系，才 称为与这组广义位移对应的广义力。
y
1
d y
W dW2FPΔP
第二节 变形体虚功原理
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功。
（力与位移相互独立）
FP2 Δ22
FP1
Δ11 Δ12
W12FP1Δ12
（此过程力保持为常量）
虚功具体有两种情况：
1 作功双方其一是虚设的； 2 作功双方均是实际存在的，但彼此无关。
第二节 变形体虚功原理